Определить как ведет себя метод простой итерации для линейной системы.
f-3x+y =- 1
2x+4y=10

• расходится
• сходится
  

Другие предметы Университет Методы решения линейных систем уравнений метод простой итерации линейная система сходимость расходимость вычислительные методы университет Новый

Метод простой итерации является одним из численных методов для решения систем уравнений, в том числе и линейных. Для того чтобы определить, сходится или расходится метод простой итерации для данной линейной системы, необходимо выполнить несколько шагов.

Данная система уравнений:

• f1: -3x + y = -1
• f2: 2x + 4y = 10

Сначала преобразуем систему уравнений в удобный для итерации вид. Для этого решим каждое уравнение относительно одной переменной, чтобы выразить её через другую:

1. Из первого уравнения выразим y:
• y = 3x - 1
2. Из второго уравнения выразим y:
• y = (10 - 2x) / 4

Теперь у нас есть два уравнения для y:

• y = 3x - 1
• y = (10 - 2x) / 4

Для применения метода простой итерации, мы можем выбрать одно из этих уравнений. Например, будем использовать y = 3x - 1. Подставим это выражение во второе уравнение:

Теперь мы можем записать итерационные формулы:

• x(n+1) = x(n)
• y(n+1) = 3x(n) - 1

Теперь важно проверить, сходится ли данный метод. Для этого мы должны оценить матрицу Якоби, которая будет содержать производные функций по переменным. В данном случае, нам нужно проверить, выполняется ли условие на сходимость.

Матрица Якоби J будет выглядеть следующим образом:

• J = | ∂f1/∂x ∂f1/∂y |
• | ∂f2/∂x ∂f2/∂y |

Вычислим частные производные:

• ∂f1/∂x = -3, ∂f1/∂y = 1
• ∂f2/∂x = 2, ∂f2/∂y = 4

Теперь мы можем вычислить определитель матрицы Якоби:

• det(J) = (-3) * 4 - (1) * 2 = -12 - 2 = -14

Если определитель матрицы Якоби не равен нулю, то это говорит о том, что метод может сходиться. Однако для окончательной проверки сходимости нам нужно оценить нормы производных, чтобы убедиться, что они меньше 1.

Если нормы производных по переменным меньше 1, то метод будет сходиться. Если же хотя бы одна из норм больше 1, то метод будет расходиться.

В данном случае, так как определитель не равен нулю, можно сделать вывод, что метод простой итерации для данной линейной системы, скорее всего, будет сходиться, при условии, что мы выберем начальные значения, которые удовлетворяют критериям сходимости.

Таким образом, ответ на ваш вопрос: метод простой итерации для данной линейной системы, скорее всего, сходится.