Периметр прямоугольника равен 54, а диагональ равна 26. Найдите площадь этого прямоугольника.

• 26,5
• 80
• 40
• 53

Другие предметы Университет Площадь и периметр фигур периметр прямоугольника диагональ прямоугольника площадь прямоугольника задачи по математике университетская математика Новый

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, нам нужно знать длины его сторон. В данном случае у нас есть два условия: периметр и диагональ. Давайте обозначим длины сторон прямоугольника как a и b.

Шаг 1: Используем формулу периметра

Периметр P прямоугольника вычисляется по формуле:

P = 2(a + b)

Согласно условию, периметр равен 54:

2(a + b) = 54

Делим обе стороны на 2:

a + b = 27

Шаг 2: Используем формулу для диагонали

Диагональ d прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора:

d = √(a² + b²)

Согласно условию, диагональ равна 26:

√(a² + b²) = 26

Возведем обе стороны в квадрат:

a² + b² = 676

Шаг 3: Решаем систему уравнений

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• 1) a + b = 27
• 2) a² + b² = 676

Из первого уравнения выразим b:

b = 27 - a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

a² + (27 - a)² = 676

Раскроем скобки:

a² + (729 - 54a + a²) = 676

Сложим подобные члены:

2a² - 54a + 729 - 676 = 0

2a² - 54a + 53 = 0

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-54)² - 4 * 2 * 53

D = 2916 - 424 = 2492

Теперь находим корни уравнения:

a = (54 ± √2492) / 4

Вычислим √2492:

√2492 ≈ 49.92

Теперь подставим значение в формулу:

a = (54 ± 49.92) / 4

Находим два возможных значения для a:

• a1 = (54 + 49.92) / 4 ≈ 26.98
• a2 = (54 - 49.92) / 4 ≈ 1.02

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение b = 27 - a:

• b1 = 27 - 26.98 ≈ 0.02
• b2 = 27 - 1.02 ≈ 25.98

Шаг 5: Находим площадь

Площадь S прямоугольника вычисляется по формуле:

S = a * b

Теперь подставим найденные значения:

• S1 = 26.98 * 0.02 ≈ 0.5396
• S2 = 1.02 * 25.98 ≈ 26.4876

Таким образом, площадь прямоугольника составляет приблизительно 26.49.