Чтобы найти первообразную для функции f(x) = x² + x, мы будем использовать правило интегрирования для полиномиальных функций. Первообразная (или неопределенный интеграл) функции f(x) может быть найдена по следующим шагам:

1. Определение функции: У нас есть функция f(x) = x² + x.
2. Интегрирование каждого члена: Мы будем интегрировать каждый член функции отдельно.
• Первая часть: ∫x² dx. По правилу интегрирования, мы добавляем 1 к степени и делим на новую степень:
  • ∫x² dx = (1/3) * x³.
• Вторая часть: ∫x dx. Аналогично, добавляем 1 к степени и делим на новую степень:
  • ∫x dx = (1/2) * x².
3. Сложение результатов: Теперь мы складываем результаты интегрирования:
   • ∫(x² + x) dx = (1/3) * x³ + (1/2) * x² + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, первообразная функции x² + x имеет вид:

(1/3) * x³ + (1/2) * x² + C

Теперь сравним с предложенными вариантами:

• 1) 1/3 ⋅ x³ + 1/2 ⋅ x² + C (правильный ответ)
• 2) 1/3 ⋅ x³ - 1/2 ⋅ x² + C (неверно)
• 3) -1/3 ⋅ x³ + 1/2 ⋅ x² + C (неверно)
• 4) 2x + 1 (неверно)

Таким образом, правильный вариант - это 1) 1/3 ⋅ x³ + 1/2 ⋅ x² + C.