Похожие вопросы
2025-09-15 20:25:51
Плоскости π₁ и π₂ заданы уравнениями 2x − y + 3z + 5 = 0 и x / 1 + y / −2 + z / 3 = 1. Определите угол φ между данными плоскостями.
- φ = arccos(9√14/12)
- φ = arccos(6√14/16)
- φ = arccos(3√14/14)
Другие предметы Университет Геометрия в пространстве математика университет Угол между плоскостями уравнения плоскостей вычисление угла плоскости в пространстве геометрия плоскостей математические задачи векторная алгебра аналитическая геометрия учебные задания по математике Новый
2025-09-15 20:26:01
Для нахождения угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями, нам нужно сначала определить нормальные векторы этих плоскостей. Уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) — это нормальный вектор плоскости.
1. **Находим нормальные векторы плоскостей.**
- Для плоскости π₁: 2x - y + 3z + 5 = 0, нормальный вектор будет (2, -1, 3).
- Для плоскости π₂: x/1 + y/(-2) + z/3 = 1, преобразуем уравнение в стандартный вид:
- x - 2y + 3z - 1 = 0, нормальный вектор будет (1, -2, 3).
2. **Записываем нормальные векторы:**
- n₁ = (2, -1, 3)
- n₂ = (1, -2, 3)
3. **Находим угол между нормальными векторами.** Угол φ между двумя векторами можно найти по формуле:
cos(φ) = (n₁ · n₂) / (|n₁| |n₂|),
где n₁ · n₂ — скалярное произведение векторов, |n₁| и |n₂| — их длины.
4. **Вычисляем скалярное произведение n₁ и n₂:**
- n₁ · n₂ = (2 * 1) + (-1 * -2) + (3 * 3) = 2 + 2 + 9 = 13.
5. **Вычисляем длины векторов:**
- |n₁| = √(2² + (-1)² + 3²) = √(4 + 1 + 9) = √14.
- |n₂| = √(1² + (-2)² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14.
6. **Теперь подставим значения в формулу для cos(φ):**
- cos(φ) = 13 / (√14 * √14) = 13 / 14.
7. **Наконец, находим угол φ:**
- φ = arccos(13/14).
Сравнивая с предложенными вариантами, ни один из них не совпадает с нашим результатом. Возможно, в условии задачи ошибка или опечатка. Проверьте, пожалуйста, уравнения плоскостей и предложенные варианты. Если у вас есть дополнительные данные, пожалуйста, предоставьте их для дальнейшего анализа.