Чтобы найти производную функции f(x) = 2cos²(x) - 3 в точке x₀ = π/20, следуем следующим шагам:

1. Найдем производную функции f(x).

Для этого воспользуемся правилом производной сложной функции и правилом производной косинуса. Производная косинуса равна минус синус, а производная квадратного выражения - это 2 умноженное на само выражение, умноженное на производную внутренней функции.

Применим эти правила:

• f'(x) = d/dx [2cos²(x)] - d/dx [3]
• f'(x) = 2 * 2cos(x) * (-sin(x)) = -4cos(x)sin(x)

Таким образом, производная функции:

f'(x) = -4cos(x)sin(x)
2. Подставим значение x₀ = π/20 в производную.

Теперь нам нужно вычислить f'(π/20):

• f'(π/20) = -4cos(π/20)sin(π/20)
3. Вычислим значения cos(π/20) и sin(π/20).

Для точного вычисления этих значений можно использовать таблицы тригонометрических функций или калькулятор. Однако, для дальнейшего анализа можно оставить их в виде тригонометрических функций.

4. Теперь подставим значения в производную.

Таким образом, мы получаем:

f'(π/20) = -4 * cos(π/20) * sin(π/20)
5. Если необходимо, можно упростить это выражение.

Используя формулу синуса двойного угла, sin(2x) = 2sin(x)cos(x), мы можем записать:

f'(π/20) = -2 * sin(π/10)
6. Итак, окончательный ответ:

Производная функции f(x) в точке x₀ = π/20 равна:

f'(π/20) = -2 * sin(π/10)