Рассчитать относительное число обусловленности задачи вычисления функции y=arctgx(0⩽y⩽π)y=arctgx0⩽y⩽π при x=0

Другие предметы Университет Численные методы решения уравнений вычислительные методы задача вычисления функция y=arctg относительное число обусловленности университет математика анализ функций Новый

Чтобы рассчитать относительное число обусловленности задачи вычисления функции y = arctg(x) при x = 0, нам нужно пройти несколько шагов.

Шаг 1: Понять, что такое арктангенс

• Функция y = arctg(x) – это обратная функция к tg(x), которая определяет угол, тангенс которого равен x.
• Диапазон значений arctg(x) – от -π/2 до π/2, но в данной задаче нас интересует интервал от 0 до π.

Шаг 2: Определить производную функции

Чтобы оценить обусловленность функции, мы должны найти ее производную. Производная функции y = arctg(x) равна:

y' = 1 / (1 + x^2)

Шаг 3: Найти значение производной при x = 0

Теперь подставим x = 0 в производную:

• y'(0) = 1 / (1 + 0^2) = 1 / 1 = 1

Шаг 4: Понять, что такое число обусловленности

Число обусловленности функции в данной точке определяется как:

K = |x| * |y'|

где |x| – это абсолютное значение аргумента, а |y'| – это абсолютное значение производной.

Шаг 5: Рассчитать число обусловленности

При x = 0 мы имеем:

• |x| = |0| = 0
• |y'| = |1| = 1

Следовательно, число обусловленности K будет равно:

• K = |0| * |1| = 0

Шаг 6: Интерпретировать результат

Относительное число обусловленности K = 0 указывает на то, что в точке x = 0 функция arctg(x) имеет нулевую производную, что означает, что в этой точке функция не изменяется. Это также указывает на то, что в окрестности этой точки функция имеет хорошую численную стабильность.

Таким образом, ответ: относительное число обусловленности задачи вычисления функции y = arctg(x) при x = 0 равно 0.