Для того чтобы правильно расставить пределы интегрирования в двойном интеграле ∬D f(x,y) dS, необходимо сначала проанализировать заданную область D, ограниченную линиями:

• x = y√ (или y = x²),
• x = 3,
• y = 0.

Теперь давайте рассмотрим, как эти линии определяют область D:

1. Линия y = 0 — это ось x (горизонтальная линия).
2. Линия x = 3 — это вертикальная линия на уровне x = 3.
3. Линия x = y√ (или y = x²) — это парабола, открытая вверх.

Теперь мы можем определить, как эти линии пересекаются и образуют область D:

• Когда y = 0, x = 0 (начало координат) и x = 3.
• Когда x = 3, y = 3² = 9 (это точка пересечения линии y = x² с вертикальной линией x = 3).
• Парабола y = x² пересекает ось y в начале координат и идет вверх.

Теперь мы можем определить пределы интегрирования:

1. Если мы будем интегрировать по x сначала, то:

• x будет изменяться от 0 до 3;
• y будет изменяться от 0 до x².

Таким образом, двойной интеграл можно записать как:

∫(от 0 до 3) dx ∫(от 0 до x²) f(x,y) dy.

2. Если же мы будем интегрировать по y сначала, то:

• y будет изменяться от 0 до 9 (максимальное значение y, когда x = 3);
• x будет изменяться от y√ до 3.

Таким образом, двойной интеграл можно записать как:

∫(от 0 до 9) dy ∫(от y√ до 3) f(x,y) dx.

В итоге, у нас есть два варианта задания пределов интегрирования:

• ∫(от 0 до 3) dx ∫(от 0 до x²) f(x,y) dy — интегрирование по x сначала;
• ∫(от 0 до 9) dy ∫(от y√ до 3) f(x,y) dx — интегрирование по y сначала.

Выбор того или иного варианта зависит от удобства вычисления интеграла. Оба варианта корректны и могут быть использованы в зависимости от функции f(x,y).