Решение задачи Коши y``+y=1, y(0)=1 есть:

• y=e^-x​​​​
• y=e^-x+1
• y=1

Другие предметы Университет Задача Коши для дифференциальных уравнений математический анализ университет задача Коши решение уравнения Дифференциальные уравнения y'' + y = 1 y(0) = 1 метод решения функции аналитические методы Новый

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка:

y'' + y = 1

с начальными условиями:

y(0) = 1

Для решения этого уравнения сначала найдем общее решение однородного уравнения:

y'' + y = 0

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

r^2 + 1 = 0

Решения этого уравнения:

• r = i
• r = -i

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C1 * cos(x) + C2 * sin(x)

Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения. Мы можем использовать метод подбора. Попробуем взять постоянное решение:

y_p = A

Подставим это решение в уравнение:

0 + A = 1

Следовательно, A = 1. Таким образом, частное решение:

y_p = 1

Теперь общее решение полного уравнения будет равно:

y = y_h + y_p = C1 * cos(x) + C2 * sin(x) + 1

Теперь применим начальные условия для нахождения констант C1 и C2. Подставим x = 0:

y(0) = C1 * cos(0) + C2 * sin(0) + 1 = 1

Это упрощается до:

C1 + 1 = 1

Отсюда мы получаем:

C1 = 0

Теперь нам нужно использовать второе начальное условие, которое нам не дано, но мы можем предположить, что нам нужно y'(0). Если бы оно было задано, мы бы подставили его и нашли C2. Однако, так как у нас нет второго условия, мы можем лишь оставить C2 произвольной.

Таким образом, общее решение будет:

y = C2 * sin(x) + 1

Теперь, если мы посмотрим на предложенные варианты решений:

• y = e^(-x)
• y = e^(-x) + 1
• y = 1

Из них ни одно не соответствует нашему решению, так как у нас есть тригонометрическая функция. Если бы у нас было другое начальное условие, мы могли бы найти конкретное значение для C2.

Таким образом, правильное общее решение задачи Коши для данного уравнения:

y = C2 * sin(x) + 1