Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности является одной из основных теорем математического анализа, и она утверждает следующее:

Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Теперь давайте разберем это утверждение более подробно:

1. Определение дифференцируемости:
   • Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если существует конечная производная f'(x0),что означает, что предел отношения приращения функции к приращению аргумента стремится к конечному значению:
   • f'(x0) = lim (h -> 0) [(f(x0 + h) - f(x0)) / h].
2. Определение непрерывности:
   • Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполняется следующее условие:
   • lim (x -> x0) f(x) = f(x0).
3. Доказательство теоремы:
   • Предположим, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.
   • По определению дифференцируемости мы знаем, что существует предел:
   • f'(x0) = lim (h -> 0) [(f(x0 + h) - f(x0)) / h].
   • Теперь рассмотрим, что происходит, когда h стремится к 0:
   • Мы можем выразить приращение функции как:
   • f(x0 + h) - f(x0) = h * f'(x0) + o(h),где o(h) - это малое по сравнению с h при h стремящемся к 0.
   • Когда h стремится к 0, o(h) тоже стремится к 0, что позволяет нам записать:
   • f(x0 + h) = f(x0) + h * f'(x0) + o(h).
   • Таким образом, при h стремящемся к 0, f(x0 + h) стремится к f(x0),что и означает непрерывность функции в точке x0.

Таким образом, мы показали, что если функция дифференцируема в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке. Однако обратное утверждение не всегда верно: функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой. Примером такой функции является функция модуль f(x) = |x| в точке x = 0.