Чтобы определить, является ли точка x=2 точкой минимума, максимума или перегиба для функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x + 7, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции f(x):
   • Первая производная функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x + 7 равна f'(x) = 3x^2 - 12x + 12.
2. Проверить, является ли x=2 критической точкой:
   • Критические точки находятся путем решения уравнения f'(x) = 0.
   • Подставим x=2 в первую производную: f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 12 = 12 - 24 + 12 = 0.
   • Поскольку f'(2) = 0, x=2 является критической точкой.
3. Найти вторую производную функции f(x):
   • Вторая производная функции f(x) равна f''(x) = 6x - 12.
4. Проверить знак второй производной в точке x=2:
   • Подставим x=2 во вторую производную: f''(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0.
   • Поскольку f''(2) = 0, вторая производная не дает информации о характере критической точки. Это указывает на возможность точки перегиба.
5. Дополнительная проверка на точку перегиба:
   • Для подтверждения точки перегиба можно проверить изменение знака первой производной по обе стороны от x=2.
   • Рассмотрим f'(x) для значений x чуть меньше и чуть больше 2.
   • Для x=1.5, f'(1.5) = 3(1.5)^2 - 12(1.5) + 12 = 6.75 - 18 + 12 = 0.75 (положительное значение).
   • Для x=2.5, f'(2.5) = 3(2.5)^2 - 12(2.5) + 12 = 18.75 - 30 + 12 = 0.75 (положительное значение).
   • Поскольку знак первой производной не меняется (остается положительным), x=2 является точкой перегиба.

Таким образом, точка x=2 является точкой перегиба функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x + 7.