Чтобы установить соответствие между видами лексических ошибок и предложениями, давайте сначала разберемся с определениями каждого вида ошибок:

• Плеоназм — это избыточное употребление слов, когда одно из них повторяет смысл другого.
• Ошибка в употреблении фразеологизма — это неправильное использование устойчивого выражения, когда его значение искажается.
• Тавтология — это повторение одного и того же или однокоренных слов в пределах одного предложения.
• Употребление паронимов — это ошибка, связанная с использованием слов, схожих по звучанию, но разных по значению.

Теперь давайте проанализируем каждое предложение:

1. В департаменте появилась свободная вакансия. — Это пример тавтологии, так как слово "вакансия" уже подразумевает, что она свободна. Правильно было бы сказать просто "вакансия".
2. Гроша битого не стоит этот пресловутый вопрос. — Здесь наблюдается ошибка в употреблении фразеологизма. Выражение "гроша ломаного не стоит" используется в значении "ничего не стоит", и его искажение ведет к ошибке.
3. Проливной ливень застал нас врасплох. — Это пример плеоназма, потому что "проливной" и "ливень" несут одно и то же значение. Достаточно сказать просто "ливень".
4. Нужно было предоставить документы на подпись. — Это пример ошибки употребления паронимов, так как "предоставить" и "предъявить" часто путают. Правильнее было бы "предъявить документы на подпись".

Таким образом, соответствие между видами лексических ошибок и предложениями следующее:

• Плеоназм — Проливной ливень застал нас врасплох.
• Ошибка в употреблении фразеологизма — Гроша битого не стоит этот пресловутый вопрос.
• Тавтология — В департаменте появилась свободная вакансия.
• Употребление паронимов — Нужно было предоставить документы на подпись.