Давайте разберем задачу по шагам.

У нас есть 4 ключа, и только один из них подходит к замку. Мы хотим найти среднее число попыток, необходимых для открытия замка, и дисперсию числа попыток.

• Пусть X - случайная величина, представляющая количество попыток, необходимых для открытия замка.
• Вероятность того, что мы откроем замок с первой попытки, равна 1/4.
• Вероятность того, что мы откроем замок со второй попытки, равна 1/4 (не открыли с первой, но открыли со второй).
• Вероятность того, что мы откроем замок с третьей попытки, равна 1/4 (не открыли с первыми двумя, но открыли с третьей).
• Вероятность того, что мы откроем замок с четвертой попытки, равна 1/4 (не открыли с первыми тремя, но открыли с четвертой).

Среднее значение (математическое ожидание) можно найти по формуле:

E(X) = Σ (x * P(X = x)), где x - количество попыток, а P(X = x) - вероятность открытия замка с x-й попытки.

• E(X) = 1 * (1/4) + 2 * (1/4) + 3 * (1/4) + 4 * (1/4)
• E(X) = (1 + 2 + 3 + 4) * (1/4)
• E(X) = 10 * (1/4) = 2.5

Таким образом, среднее число попыток, необходимых для открытия замка, равно 2.5.

Дисперсию можно вычислить по формуле:

D(X) = E(X^2) - (E(X))^2

• E(X^2) = 1^2 * (1/4) + 2^2 * (1/4) + 3^2 * (1/4) + 4^2 * (1/4)
• E(X^2) = (1 + 4 + 9 + 16) * (1/4)
• E(X^2) = 30 * (1/4) = 7.5

• D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
• D(X) = 7.5 - (2.5)^2
• D(X) = 7.5 - 6.25 = 1.25

Таким образом, дисперсия числа попыток, необходимых для открытия замка, равна 1.25.

• Вопрос 1: Среднее число попыток = 2.5
• Вопрос 2: Дисперсия числа попыток = 1.25