Похожие вопросы
2025-08-04 04:06:17
Выберите все верные утверждения
- Определитель матрицы линейного операора при переходе к новому базису меняет знак.
- Множество собственных векторов соответствующих одному и тому же собственному значению, пополненное нулевым вектором, является линейным пространством.
- Каждому собственному вектору линейного оператора соответствует только одно собственное значение.
- Произведение линейного оператора на число не является линейным оператором.
Другие предметы Университет Собственные значения и собственные векторы линейных операторов линейная алгебра аналитическая геометрия университет определитель матрицы собственные векторы линейный оператор новое базис линейное пространство собственное значение произведение линейного оператора
2025-08-04 04:06:37
Давайте по порядку рассмотрим каждое из утверждений и определим, какие из них верные.
-
Определитель матрицы линейного оператора при переходе к новому базису меняет знак.
Это утверждение неверно. При переходе к новому базису определитель матрицы может измениться, но он не обязательно меняет знак. Это зависит от свойств перехода, например, от того, является ли матрица перехода ортогональной или нет.
-
Множество собственных векторов соответствующих одному и тому же собственному значению, пополненное нулевым вектором, является линейным пространством.
Это утверждение верно. Собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению, образуют подпространство, и добавление нулевого вектора делает это множество линейным пространством, так как нулевой вектор удовлетворяет условиям линейного пространства.
-
Каждому собственному вектору линейного оператора соответствует только одно собственное значение.
Это утверждение неверно. На самом деле, собственный вектор может соответствовать одному и тому же собственному значению, но это значение может быть связано с несколькими собственными векторами. Например, если вектор является собственным вектором для некоторого собственного значения, то любое его ненулевое кратное также будет собственным вектором для того же значения.
-
Произведение линейного оператора на число не является линейным оператором.
Это утверждение верно. Если мы умножаем линейный оператор на скаляр, то результатом будет не линейный оператор, так как линейный оператор должен удовлетворять двум условиям: аддитивности и однородности. Умножение на число не сохраняет эти свойства.
Итак, верные утверждения: второе и четвертое.