Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры.

Другие предметы Университет Криволинейные интегралы вычисление криволинейного интеграла интеграл первого рода математический анализ примеры криволинейный интеграл примеры интегралов университет математика задачи по математическому анализу Новый

Криволинейный интеграл первого рода представляет собой интеграл от функции по кривой в пространстве. Он используется для нахождения длины кривой или для вычисления интегралов вдоль заданной траектории. Давайте рассмотрим, как вычислять такие интегралы на примере.

Определение криволинейного интеграла первого рода: Пусть у нас есть кривая C, заданная параметрически в виде r(t) = (x(t), y(t)), где a ≤ t ≤ b. Тогда криволинейный интеграл первого рода от функции f(x, y) по кривой C определяется как:

∫C f(x, y) ds = ∫(a to b) f(x(t), y(t)) ||r'(t)|| dt,

где ||r'(t)|| - это длина вектора производной, которая равна √( (dx/dt)² + (dy/dt)² ).

Пример 1: Вычислим криволинейный интеграл первого рода для функции f(x, y) = x + y по кривой, заданной параметрически: x(t) = t, y(t) = t², где t изменяется от 0 до 1.

1. Найдем производные x(t) и y(t):
• dx/dt = 1
• dy/dt = 2t
2. Вычислим ||r'(t)||:
• ||r'(t)|| = √( (dx/dt)² + (dy/dt)² ) = √(1² + (2t)²) = √(1 + 4t²).
3. Подставим x(t) и y(t) в функцию f(x, y):
• f(x(t), y(t)) = f(t, t²) = t + t².
4. Теперь подставим все в интеграл:
• ∫(0 to 1) (t + t²) √(1 + 4t²) dt.
5. Этот интеграл можно вычислить численно или аналитически, в зависимости от уровня сложности.

Пример 2: Рассмотрим функцию f(x, y) = x² - y² и кривую, заданную в полярных координатах: r(θ) = 2, θ изменяется от 0 до π/2.

1. Переведем полярные координаты в декартовы:
• x = r(θ) cos(θ) = 2 cos(θ)
• y = r(θ) sin(θ) = 2 sin(θ)
2. Вычислим производные x(θ) и y(θ):
• dx/dθ = -2 sin(θ)
• dy/dθ = 2 cos(θ)
3. Найдем ||r'(θ)||:
• ||r'(θ)|| = √( (-2 sin(θ))² + (2 cos(θ))²) = √(4 sin²(θ) + 4 cos²(θ)) = √(4) = 2.
4. Теперь подставим в функцию f(x, y):
• f(x(θ), y(θ)) = f(2 cos(θ), 2 sin(θ)) = (2 cos(θ))² - (2 sin(θ))² = 4(cos²(θ) - sin²(θ)).
5. Теперь подставим в интеграл:
• ∫(0 to π/2) 4(cos²(θ) - sin²(θ)) * 2 dθ = 8 ∫(0 to π/2) (cos²(θ) - sin²(θ)) dθ.
6. Этот интеграл также можно вычислить, используя известные формулы или численно.

Таким образом, мы рассмотрели два примера вычисления криволинейного интеграла первого рода. Важно помнить, что основными шагами являются: параметризация кривой, нахождение производных и длины вектора, подстановка в функцию и вычисление интеграла.