Чтобы вычислить интеграл ∫ dx / √(x² + 1) на интервале от 0 до 11, давайте начнем с нахождения неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл ∫ dx / √(x² + 1) можно решить, используя тригонометрическую подстановку или известную формулу. В данном случае, мы можем воспользоваться известной формулой:

• ∫ dx / √(x² + a²) = (1/a) * ln|x + √(x² + a²)| + C, где a = 1.

Таким образом, наш интеграл становится:

• ∫ dx / √(x² + 1) = ln|x + √(x² + 1)| + C.

Теперь вычислим определенный интеграл от 0 до 11:

1. Подставим верхний предел:
2. ln|11 + √(11² + 1)| = ln|11 + √(121 + 1)| = ln|11 + √122|.
3. Подставим нижний предел:
4. ln|0 + √(0² + 1)| = ln|√1| = ln(1) = 0.

Теперь вычтем нижний предел из верхнего:

Итак, интеграл равен:

ln|11 + √122| - 0 = ln|11 + √122|.

Теперь добавим к этому результату выражение, указанное в вашем вопросе:

ln|11 + √122| + √2ln2 + 12 * ln|1 + √2| + 3 * ln|1 + √2| * ln|1 + √2|.

Таким образом, окончательный ответ будет:

ln|11 + √122| + √2ln2 + 12 * ln|1 + √2| + 3 * (ln|1 + √2|)².