Вычислить J= ∫cos(lnx) dx/x

Другие предметы Университет Интегралы и интегрирование интеграл вычисление интеграла математика университет cos(lnx) j dx/x математический анализ учебные задачи высшая математика Новый

Чтобы вычислить интеграл J = ∫cos(ln(x)) dx/x, мы можем использовать замену переменной. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Замена переменной: Поскольку у нас есть ln(x) в косинусе, мы можем сделать замену:
   • Пусть u = ln(x).
   • Тогда du = (1/x) dx, что означает, что dx = x du = e^u du (так как x = e^u).
2. Подстановка в интеграл: Теперь мы можем выразить наш интеграл через переменную u:
   • Когда мы подставим u, получим:
   • J = ∫cos(u) du.
3. Вычисление интеграла: Интеграл ∫cos(u) du легко вычисляется:
   • ∫cos(u) du = sin(u) + C, где C - произвольная константа интегрирования.
4. Возвращение к исходной переменной: Теперь нам нужно вернуться к переменной x:
   • Так как u = ln(x), мы имеем sin(u) = sin(ln(x)).
5. Запись окончательного ответа: Таким образом, окончательный ответ будет:
   • J = sin(ln(x)) + C.

Итак, мы получили результат интегрирования:

J = sin(ln(x)) + C