Для вычисления предела lim (x – arctgx) / x² при x → 0, мы можем применить правило Лопиталя. Это правило используется, когда мы сталкиваемся с неопределённостями вида 0/0 или ∞/∞.

Шаги решения:

1. Сначала подставим x = 0 в выражение:
• arctg(0) = 0, поэтому x – arctg(x) при x = 0 будет равно 0 - 0 = 0.
• Также x² при x = 0 будет равно 0.
2. Таким образом, мы имеем неопределённость вида 0/0. Теперь применим правило Лопиталя, которое гласит, что мы можем взять производные числителя и знаменателя:
• Числитель: f(x) = x - arctg(x). Найдём его производную:
• f'(x) = 1 - (1 / (1 + x²)) = 1 - 1/(1 + x²).
• Знаменатель: g(x) = x². Найдём его производную:
• g'(x) = 2x.
3. Теперь можем записать новый предел:
• lim (1 - 1/(1 + x²)) / (2x) при x → 0.
4. Подставим x = 0 в новое выражение:
• 1 - 1/(1 + 0²) = 1 - 1 = 0, и 2x при x = 0 также равно 0.
5. У нас снова неопределённость 0/0, поэтому применим правило Лопиталя ещё раз:
• Найдём производные числителя и знаменателя снова:
• Новый числитель: 0 - (0/(1 + x²)²) * 2x = 0.
• Новый знаменатель: 2.
6. Теперь предел выглядит так:
• lim (0) / (2) = 0.

Таким образом, предел lim (x – arctgx) / x² при x → 0 равен 0.

Ответ: 0