Вывести формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве

Другие предметы Университет Расстояние от точки до прямой в пространстве расстояние от точки до прямой линейная алгебра аналитическая геометрия формула расстояния геометрия в пространстве Новый

Чтобы вывести формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве, давайте сначала определим, что нам нужно. Предположим, у нас есть прямая, заданная двумя точками A и B, и точка P, от которой мы хотим измерить расстояние до этой прямой.

Шаги для вывода формулы следующие:

1. Определение векторов:
   • Обозначим точку A как (x1, y1, z1) и точку B как (x2, y2, z2).
   • Точка P будет иметь координаты (x0, y0, z0).
   • Вектор AB можно записать как AB = B - A = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
   • Вектор AP можно записать как AP = P - A = (x0 - x1, y0 - y1, z0 - z1).
2. Нахождение проекции вектора AP на вектор AB:
   • Сначала найдем длину вектора AB: ||AB|| = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).
   • Теперь найдем скалярное произведение векторов AP и AB: AP · AB = (x0 - x1)(x2 - x1) + (y0 - y1)(y2 - y1) + (z0 - z1)(z2 - z1).
   • Проекция вектора AP на вектор AB будет равна: proj_AB(AP) = (AP · AB) / ||AB||² * AB.
3. Нахождение вектора, перпендикулярного к AB:
   • Теперь мы можем найти вектор, перпендикулярный к AB, который будет равен: AP - proj_AB(AP).
4. Нахождение длины перпендикулярного вектора:
   • Длина этого вектора будет равна расстоянию от точки P до прямой AB.
   • Расстояние D можно выразить как: D = ||AP - proj_AB(AP)||.

Таким образом, формула для расстояния от точки P до прямой, заданной точками A и B, будет выглядеть следующим образом:

D = ||AP - proj_AB(AP)||

Где D - расстояние от точки P до прямой, а proj_AB(AP) - проекция вектора AP на вектор AB.

Эта формула позволяет вычислить расстояние от любой точки до прямой в пространстве, используя векторы и их свойства.