Какое расстояние между двумя точками, движущимися вдоль оси x, будет, когда их ускорения станут одинаковыми, если первая точка имеет скорость, изменяющуюся по уравнению v1 = Bt + Ct2 (где B = 8 м/с2 и C = –1 м/с3), а вторая точка движется с постоянной...
Какое расстояние между двумя точками, движущимися вдоль оси x, будет, когда их ускорения станут одинаковыми, если первая точка имеет скорость, изменяющуюся по уравнению v1 = Bt + Ct2 (где B = 8 м/с2 и C = –1 м/с3), а вторая точка движется с постоянной скоростью v2 = 12 м/с? Начальные координаты точек равны x1 = 0 м и x2 = 10 м. Каково будет это расстояние через t = 8 с после начала движения?
Для решения этой задачи нам нужно сначала определить, когда ускорения двух точек станут одинаковыми, а затем вычислить расстояние между ними через 8 секунд.
Шаг 1: Найдем ускорение первой точки
Скорость первой точки задана уравнением v1 = Bt + Ct^2. Чтобы найти ускорение, необходимо продифференцировать скорость по времени:
- Ускорение a1 = dv1/dt = B + 2Ct.
Подставим значения B и C:
- a1 = 8 - 2 * 1 * t = 8 - 2t.
Шаг 2: Найдем ускорение второй точки
Вторая точка движется с постоянной скоростью v2 = 12 м/с, поэтому ее ускорение:
- a2 = 0 м/с² (поскольку скорость не меняется).
Шаг 3: Найдем момент времени, когда ускорения равны
Приравняем ускорения:
8 - 2t = 0.
Решим это уравнение:
- 2t = 8
- t = 4 с.
Таким образом, ускорения обеих точек станут одинаковыми через 4 секунды.
Шаг 4: Найдем координаты точек через 8 секунд
Теперь найдем координаты обеих точек через 8 секунд.
Координата первой точки:
Для нахождения координаты x1 используем уравнение движения. Чтобы получить координату, нужно интегрировать скорость:
- x1(t) = ∫v1 dt = ∫(Bt + Ct^2) dt = (B/2)t^2 + (C/3)t^3 + x1(0).
Подставим значения B и C:
- x1(t) = (8/2)t^2 + (-1/3)t^3 + 0 = 4t^2 - (1/3)t^3.
Теперь подставим t = 8 с:
- x1(8) = 4*(8^2) - (1/3)*(8^3) = 4*64 - (1/3)*512 = 256 - 170.67 = 85.33 м.
Координата второй точки:
Вторая точка движется с постоянной скоростью 12 м/с. Ее координата будет:
- x2(t) = x2(0) + v2 * t = 10 + 12 * t.
Подставим t = 8 с:
- x2(8) = 10 + 12 * 8 = 10 + 96 = 106 м.
Шаг 5: Найдем расстояние между точками через 8 секунд
Теперь мы можем найти расстояние между двумя точками:
- Расстояние = |x1(8) - x2(8)| = |85.33 - 106| = | -20.67 | = 20.67 м.
Таким образом, расстояние между двумя точками через 8 секунд будет равно 20.67 метра.
