1. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле

Пусть в некотором электростатическом поле действует вектор напряжённости E(M). На заряд q в точке M действует сила электростатического происхождения F = qE. Если заряд перемещают из точки 1 в точку 2 вдоль некоторого пути L, работа поля при этом равна интегралу по пути:

A_field = ∫_L F · dl = ∫_L q E · dl = q ∫_1^2 E · dl.

Важно различать работу поля и работу внешней силы. Если внешняя сила медленно и равномерно перемещает заряд, компенсируя действие поля (статическое равновесие), то работа внешней силы A_ext = −A_field.

Изменение потенциальной энергии заряда при перемещении из 1 в 2 равно отрицанию работы поля:

ΔW_p = W_p2 − W_p1 = −A_field = −q ∫_1^2 E · dl.

2. Понятие потенциала

Потенциал φ в данной точке поля определяется как потенциальная энергия единичного положительного заряда, помещённого в эту точку:

φ(M) = W_p(M) / q.

Отсюда для разности потенциалов между точками 1 и 2 получаем:

φ2 − φ1 = (W_p2 − W_p1)/q = −∫_1^2 E · dl.

То есть разность потенциалов равна отрицательному линийному интегралу напряжённости поля между этими точками. Потенциал задаётся с точностью до произвольной постоянной (выбор нуля потенциала свободен).

3. Теорема о циркуляции (о замкнутой циркуляции) электростатического поля

Если поле электростатическое (не изменяется во времени, нет индуцированных электрических полей от меняющегося магнитного потока), то работа поля при перемещении заряда зависит только от начальной и конечной точек, а не от пути. Это означает, что для любого замкнутого контура C работа поля равна нулю:

∮_C E · dl = 0.

Это и есть теорема о циркуляции: циркуляция вектора напряжённости по любому замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Следствие: поле консервативно (потенциально), существует скалярная функция φ такая, что отношения ниже выполняются.

4. Связь между напряжённостью и потенциалом

Из определения разности потенциалов как отрицательного интеграла напряжённости следует, что напряжённость связана с потенциалом через градиент:

E = −∇φ.

Практически это означает компонентно:

• Ex = −∂φ/∂x,
• Ey = −∂φ/∂y,
• Ez = −∂φ/∂z.

Интуиция: в направлении наибольшего убывания потенциала напряжённость указывает в ту же сторону, и её модуль равен скорости убывания потенциала в этом направлении.

Доказательство связи через пределы

Возьмём очень малый перемещённый вектор dl. Тогда при линейном приближении разность потенциалов dφ ≈ φ(M + dl) − φ(M) = −E · dl. Это и даёт E = −∇φ как предел отношения при стремлении dl к нулю.

5. Примеры и замечания

• Для точечного заряда Q в вакууме потенциал на расстоянии r от заряда: φ(r) = k Q / r, где k = 1/(4π ε0). Соответствующая напряжённость: E = k Q / r^2 направлена радиально (E = −∇φ даёт положительное радиальное направление при положительном Q).
• Если в присутствии времени меняющегося магнитного потока, возникает вихревое электрическое поле, для него ∮ E · dl ≠ 0, и поле уже не потенциально: E нельзя выразить через градиент скалярного потенциала в общей форме.

Краткое резюме

1. Работа поля при перемещении заряда q из 1 в 2: A_field = q ∫_1^2 E · dl.
2. Потенциал φ — потенциальная энергия на единицу заряда; разность потенциалов φ2 − φ1 = −∫_1^2 E · dl.
3. В электростатическом поле циркуляция равна нулю: ∮ E · dl = 0 (поле консервативно).
4. Напряжённость и потенциал связаны соотношением E = −∇φ (компонентно Ex = −∂φ/∂x и т.д.).