Какое дифференциальное уравнение описывает колебательное движение материальной точки в виде x’’+6x’+50x=0, и каким образом можно определить период затухающих колебаний?

Физика Колледж Затухающие колебания колебательное движение Дифференциальное уравнение затухающие колебания Период колебаний материальная точка Новый

Давайте разберем данное дифференциальное уравнение, которое описывает колебательное движение материальной точки:

x’’ + 6x’ + 50x = 0

Это уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. В общем виде такое уравнение можно записать как:

a*x’’ + b*x’ + c*x = 0

где:

• a = 1
• b = 6
• c = 50

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать характеристическое уравнение, которое имеет вид:

a*r² + b*r + c = 0

Подставим наши значения:

1*r² + 6*r + 50 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac

Подставим значения:

D = 6² - 4*1*50 = 36 - 200 = -164

Так как дискриминант отрицательный (D < 0), это означает, что у уравнения есть два комплексных корня. Они имеют вид:

r = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

r = (-6 ± √(-164)) / 2

Это можно записать как:

r = -3 ± i√41

Теперь мы можем записать общее решение данного уравнения:

x(t) = e^(-3t)(C1*cos(√41*t) + C2*sin(√41*t))

где C1 и C2 - произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.

Теперь определим период затухающих колебаний. В данном случае, поскольку мы имеем комплексные корни, колебания будут затухающими. Период затухающих колебаний определяется как:

T = 2π / ω

где ω - это мнимая часть корней, которая равна √41. Таким образом, подставим значение:

T = 2π / √41

Теперь мы можем подвести итог:

• Дифференциальное уравнение колебательного движения имеет вид x’’ + 6x’ + 50x = 0.
• Период затухающих колебаний T равен 2π / √41.

Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!