Для решения данной задачи нам нужно использовать формулы, связанные с колебательными контурами, а именно, связь между индуктивностью (L) и емкостью (C) контуров, а также частотой собственных колебаний.

Сначала запишем уравнение для частоты собственных колебаний в колебательном контуре:

f = 1 / (2π√(LC))

Где:

• f - частота колебаний в герцах (Гц),
• L - индуктивность в генри (Гн),
• C - емкость в фарадах (Ф).

В нашем случае, у нас есть уравнение напряжения:

U = U(max)cos(500t)

Здесь 500 - это угловая частота (ω) в радианах в секунду. Угловая частота и частота связаны следующим образом:

ω = 2πf

Следовательно, мы можем выразить частоту:

f = ω / (2π) = 500 / (2π)

Теперь мы можем подставить значение частоты в формулу для колебательного контура:

500 = 1 / (2π√(LC))

Теперь, чтобы найти индуктивность L, мы можем выразить ее из этой формулы:

LC = 1 / (4π²f²)

Теперь подставим значение частоты:

LC = 1 / (4π²(500/2π)²)

Теперь упростим это уравнение:

LC = 1 / (4π² * (250²))

Теперь подставим значение емкости C, которая равна 20 мкФ (или 20 * 10^(-6) Ф):

(20 * 10^(-6)) * L = 1 / (4π² * (250²))

Теперь найдем значение 4π² * (250²):

4π² * (250²) = 4 * 9.87 * 62500 ≈ 2460000

Теперь подставим это значение в уравнение:

(20 * 10^(-6)) * L = 1 / 2460000

Теперь найдем L:

L = 1 / (20 * 10^(-6) * 2460000)

Выполним вычисления:

L ≈ 0.000000204 Гн

Или, в более удобной форме:

L ≈ 204 нГн

Таким образом, индуктивность катушки в этом колебательном контуре составляет примерно 204 нГн.