Геометрия 10 класс. Из точки М, находящейся на расстоянии a от окружности, проведена касательная к этой окружности длиной 2a. Какой радиус у этой окружности?

Геометрия 10 класс Касательные и секущие к окружности геометрия 10 класс задача на касательную радиус окружности расстояние до окружности длина касательной Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть окружность, и точка М находится на расстоянии a от её границы. Из этой точки проведена касательная к окружности, длина которой равна 2a.

Давайте обозначим радиус окружности как R. По определению, касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный следующими элементами:

• Радиус окружности (R), проведенный в точку касания;
• Отрезок от точки М до центра окружности (длиной R + a);
• Касательная, длина которой равна 2a.

Теперь мы можем записать уравнение для этого прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора. В нашем случае это будет выглядеть так:

(R + a)^2 = R^2 + (2a)^2

Раскроем скобки:

(R + a)(R + a) = R^2 + 4a^2

Это дает нам:

R^2 + 2Ra + a^2 = R^2 + 4a^2

Теперь мы можем упростить уравнение, вычитая R^2 из обеих сторон:

2Ra + a^2 = 4a^2

Теперь вычтем a^2 из обеих сторон:

2Ra = 3a^2

Теперь разделим обе стороны на 2a (при условии, что a не равно 0):

R = (3/2)a

Таким образом, мы нашли радиус окружности:

R = (3/2)a

Ответ: радиус окружности равен (3/2)a.