Как можно изобразить сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, которое проходит через вершины D, C1 и середину ребра AA1? Какова площадь этого сечения?

Геометрия 10 класс Сечения многогранников сечение куба вершины D C1 середина ребра AA1 площадь сечения геометрия куба задачи по геометрии расчет площади сечения Новый

Для того чтобы изобразить сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, которое проходит через вершины D, C1 и середину ребра AA1, давайте сначала определим координаты всех вершин куба. Предположим, что куб расположен в трехмерной системе координат следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь определим координаты точек, через которые проходит сечение:

• Точка D имеет координаты (0, 1, 0).
• Точка C1 имеет координаты (1, 1, 1).
• Середина ребра AA1 находится на высоте 0.5, поэтому ее координаты: (0, 0, 0.5).

Итак, у нас есть три точки D(0, 1, 0), C1(1, 1, 1) и M(0, 0, 0.5). Теперь мы можем построить плоскость, проходящую через эти три точки.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, можно воспользоваться векторным методом. Сначала найдем два вектора, которые лежат в плоскости:

• Вектор DC1: C1 - D = (1, 1, 1) - (0, 1, 0) = (1, 0, 1).
• Вектор DM: M - D = (0, 0, 0.5) - (0, 1, 0) = (0, -1, 0.5).

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

• n = DC1 × DM = |i j k|
• |1 0 1|
• |0 -1 0.5|

Вычисляя детерминант, мы получаем:

• n = (0*0.5 - 1*(-1), 1*0 - 1*0, 1*(-1) - 0*0) = (0.5, 0, -1) = (0.5, 0, -1).

Теперь мы можем записать уравнение плоскости в форме:

0.5(x - 0) + 0(y - 1) - 1(z - 0) = 0, что упрощается до:

0.5x - z = 0, или z = 0.5x.

Теперь переходим к нахождению площади сечения. Сечение, образованное тремя точками, является треугольником. Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = (1/2) * |AB × AC|, где A, B, C - вершины треугольника.

В нашем случае:

• A = D(0, 1, 0)
• B = C1(1, 1, 1)
• C = M(0, 0, 0.5)

Сначала найдем векторы AB и AC:

• AB = B - A = (1, 1, 1) - (0, 1, 0) = (1, 0, 1).
• AC = C - A = (0, 0, 0.5) - (0, 1, 0) = (0, -1, 0.5).

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

• AB × AC = |i j k|
• |1 0 1|
• |0 -1 0.5|

Вычисляя детерминант, получаем:

• AB × AC = (0*0.5 - 1*(-1), 1*0 - 1*0, 1*(-1) - 0*0) = (0.5, 0, -1).

Теперь находим длину этого вектора:

|AB × AC| = √(0.5^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(0.25 + 0 + 1) = √1.25 = √(5/4) = (√5)/2.

Теперь подставляем в формулу для площади:

Площадь = (1/2) * |AB × AC| = (1/2) * (√5)/2 = √5/4.

Таким образом, сечение, проходящее через точки D, C1 и середину ребра AA1, представляет собой треугольник, и его площадь равна √5/4.