Для нахождения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба функции y = x^4 - 6x^2, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

Первая производная функции позволяет нам определить, где функция возрастает или убывает. Находим производную:

• y' = 4x^3 - 12x.

Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю или не существует. Решаем уравнение:

• 4x^3 - 12x = 0.

Факторизуем:

• 4x(x^2 - 3) = 0.

Это уравнение равно нулю, когда:

• x = 0, x = √3, x = -√3.

Нам нужно разделить числовую прямую на интервалы, используя найденные критические точки:

• (-∞, -√3),
• (-√3, 0),
• (0, √3),
• (√3, +∞).

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в первую производную:

• Для интервала (-∞, -√3) возьмем x = -2: y'(-2) = 4(-2)^3 - 12(-2) = -32 + 24 = -8 (отрицательное).
• Для интервала (-√3, 0) возьмем x = -1: y'(-1) = 4(-1)^3 - 12(-1) = -4 + 12 = 8 (положительное).
• Для интервала (0, √3) возьмем x = 1: y'(1) = 4(1)^3 - 12(1) = 4 - 12 = -8 (отрицательное).
• Для интервала (√3, +∞) возьмем x = 2: y'(2) = 4(2)^3 - 12(2) = 32 - 24 = 8 (положительное).

Таким образом, мы можем сделать выводы о возрастании и убывании функции:

• Функция убывает на интервале (-∞, -√3),
• Функция возрастает на интервале (-√3, 0),
• Функция убывает на интервале (0, √3),
• Функция возрастает на интервале (√3, +∞).

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить интервалы выпуклости и вогнутости:

• y'' = 12x^2 - 12.

Точки перегиба находятся, когда вторая производная равна нулю:

• 12x^2 - 12 = 0.

Решаем это уравнение:

• x^2 = 1,
• x = 1, x = -1.

Разделим числовую прямую на интервалы с использованием найденных точек перегиба:

• (-∞, -1),
• (-1, 1),
• (1, +∞).

Выберем тестовые точки:

• Для интервала (-∞, -1) возьмем x = -2: y''(-2) = 12(-2)^2 - 12 = 48 - 12 = 36 (положительное).
• Для интервала (-1, 1) возьмем x = 0: y''(0) = 12(0)^2 - 12 = -12 (отрицательное).
• Для интервала (1, +∞) возьмем x = 2: y''(2) = 12(2)^2 - 12 = 48 - 12 = 36 (положительное).

Таким образом, мы можем сделать выводы о выпуклости и вогнутости функции:

• Функция выпуклая на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞),
• Функция вогнутая на интервале (-1, 1).

• Интервалы выпуклости: (-∞, -1) и (1, +∞).
• Интервал вогнутости: (-1, 1).
• Точки перегиба: x = -1 и x = 1.