Как найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции y=x^4-6x^2?

Геометрия 10 класс Анализ функций интервалы выпуклости интервалы вогнутости точки перегиба функция y=x^4-6x^2 геометрия 10 класс анализ функции производная функции график функции экстремумы функции свойства функций Новый

Чтобы найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции y = x^4 - 6x^2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.

Шаг 1: Найдем первую производную функции

Сначала найдем первую производную функции y по x:

1. y' = d/dx (x^4 - 6x^2) = 4x^3 - 12x.

Шаг 2: Найдем вторую производную функции

Теперь найдем вторую производную:

1. y'' = d/dx (4x^3 - 12x) = 12x^2 - 12.

Шаг 3: Найдем точки перегиба

Точки перегиба находятся там, где вторая производная равна нулю или не существует. Найдем, при каких значениях x это происходит:

1. 12x^2 - 12 = 0.
2. 12x^2 = 12.
3. x^2 = 1.
4. x = ±1.

Таким образом, у нас есть две точки перегиба: x = -1 и x = 1.

Шаг 4: Определим интервалы выпуклости и вогнутости

Теперь нужно проанализировать знак второй производной на интервалах, которые определяются точками перегиба:

• Интервал 1: (-∞, -1)
• Интервал 2: (-1, 1)
• Интервал 3: (1, +∞)

Теперь проверим знак второй производной на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -1): возьмем, например, x = -2.
2. y''(-2) = 12(-2)^2 - 12 = 48 - 12 = 36 (положительно).
3. Следовательно, функция выпуклая на интервале (-∞, -1).

2. Для интервала (-1, 1): возьмем, например, x = 0.
3. y''(0) = 12(0)^2 - 12 = -12 (отрицательно).
4. Следовательно, функция вогнутая на интервале (-1, 1).

3. Для интервала (1, +∞): возьмем, например, x = 2.
4. y''(2) = 12(2)^2 - 12 = 48 - 12 = 36 (положительно).
5. Следовательно, функция выпуклая на интервале (1, +∞).

Итоги

Теперь мы можем подвести итоги:

• Функция выпуклая на интервалах: (-∞, -1) и (1, +∞).
• Функция вогнутая на интервале: (-1, 1).
• Точки перегиба: x = -1 и x = 1.

Таким образом, мы нашли интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба для функции y = x^4 - 6x^2.