Чтобы вычислить площадь прямоугольника, заданного координатами его вершин, нужно сначала убедиться, что эти вершины действительно образуют прямоугольник. В данном случае у нас есть точки: (0;2), (1;4), (5;2) и (4;0).

Следуем этим шагам:

1. Проверка прямоугольника: Для того чтобы убедиться, что фигура является прямоугольником, нужно проверить, что противоположные стороны равны и углы между ними равны 90 градусов. Для этого можно использовать расстояние между точками и векторы.
2. Вычисление расстояний: Расстояние между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) вычисляется по формуле:

   d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

   • Расстояние между (0;2) и (1;4):

     d1 = √((1 - 0)² + (4 - 2)²) = √(1 + 4) = √5

   • Расстояние между (1;4) и (5;2):

     d2 = √((5 - 1)² + (2 - 4)²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5

   • Расстояние между (5;2) и (4;0):

     d3 = √((4 - 5)² + (0 - 2)²) = √(1 + 4) = √5

   • Расстояние между (4;0) и (0;2):

     d4 = √((0 - 4)² + (2 - 0)²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5

3. Проверка равенства сторон: Мы видим, что d1 = d3 = √5, а d2 = d4 = 2√5. Это говорит о том, что у нас есть две пары равных сторон, что является необходимым условием для прямоугольника.
4. Вычисление площади: Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле:

   Площадь = длина * ширина

   Где длина и ширина - это длины сторон, которые мы нашли:

   • Длина = d2 = 2√5
   • Ширина = d1 = √5

   Теперь подставим значения:

   Площадь = 2√5 * √5 = 2 * 5 = 10.

Ответ: Площадь данного прямоугольника равна 10 квадратным единицам.