Как найти больший катет прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м?

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники и окружности большой катет прямоугольный треугольник радиус вписанной окружности радиус описанной окружности геометрия 10 класс задачи по геометрии теоремы о треугольниках свойства треугольников формулы для треугольников решение задач по геометрии Новый

Для решения задачи о нахождении большего катета прямоугольного треугольника, если известны радиусы вписанной и описанной окружностей, следуем следующим шагам.

Шаг 1: Найдем длину гипотенузы.

Радиус описанной окружности (R) в прямоугольном треугольнике равен половине гипотенузы (c). В нашем случае R = 5 м, следовательно:

• c = 2 * R = 2 * 5 = 10 м.

Шаг 2: Используем радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности (r) в прямоугольном треугольнике равен (a + b - c) / 2, где a и b – это катеты. У нас r = 2 м, поэтому:

• (a + b - c) / 2 = 2.
• Подставляем c = 10 в уравнение:
• a + b - 10 = 4.
• Следовательно, a + b = 14.

Шаг 3: Составим систему уравнений.

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) a + b = 14
• 2) a² + b² = c² = 10² = 100

Теперь мы можем выразить одно переменное через другое. Из первого уравнения выразим b:

• b = 14 - a.

Подставляем это значение во второе уравнение:

• a² + (14 - a)² = 100.

Раскроем скобки:

• a² + (196 - 28a + a²) = 100.
• 2a² - 28a + 196 = 100.
• 2a² - 28a + 96 = 0.

Теперь делим все уравнение на 2 для упрощения:

• a² - 14a + 48 = 0.

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение.

Для решения используем дискриминант:

• D = (-14)² - 4 * 1 * 48 = 196 - 192 = 4.

Теперь находим корни уравнения:

• a = (14 ± √D) / 2 = (14 ± 2) / 2.
• Значит, a1 = 8 и a2 = 6.

Так как a и b – это катеты, то у нас получается:

• Если a = 8, тогда b = 14 - 8 = 6.
• Если a = 6, тогда b = 14 - 6 = 8.

Шаг 5: Определяем больший катет.

В обоих случаях один катет равен 8, а другой – 6. Таким образом, больший катет равен 8 м.

Итак, мы нашли, что больший катет прямоугольного треугольника составляет 8 м.