Как найти длину высоты ВН, если точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС, а окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К, и известно, что длина отрезка РК равна 15?

Геометрия 10 класс Прямоугольные треугольники и окружности длина высоты треугольник ABC окружность с диаметром отрезок РК прямоугольный треугольник точки пересечения геометрия задача по геометрии Новый

Чтобы найти длину высоты ВН в прямоугольном треугольнике ABC, где B - вершина прямого угла, а Н - основание высоты, проведённой из точки B, нам нужно воспользоваться свойствами окружности и некоторыми геометрическими соотношениями.

Мы знаем, что окружность с диаметром ВН пересекает стороны AB и CB в точках P и K, и длина отрезка PK равна 15. Теперь давайте разберёмся, как это связано с высотой ВН.

В первую очередь, отметим, что в окружности с диаметром ВН угол, опирающийся на этот диаметр (угол PBK), будет прямым. Это свойство окружностей говорит нам, что треугольник PBK является прямоугольным.

Теперь рассмотрим треугольник PBK:

• PB - одна из сторон, которая равна высоте ВН.
• BK - другая сторона, которая также равна высоте ВН.
• PK - гипотенуза, которая равна 15.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется следующее равенство:

PB^2 + BK^2 = PK^2

Поскольку PB и BK равны высоте ВН (обозначим её как h), то мы можем записать:

h^2 + h^2 = 15^2

Это упростится до:

2h^2 = 225

Теперь делим обе стороны на 2:

h^2 = 112.5

Теперь найдём h, взяв квадратный корень:

h = √112.5

Приблизительно, h = 10.61.

Таким образом, длина высоты ВН равна примерно 10.61.