Как найти косинус угла между прямой SC и плоскостью ABCD, если основание четырехугольной пирамиды SABCD — квадрат ABCD, боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, а прямая SC образует с плоскостью SAB угол фи и DC = а?

Геометрия 10 класс Углы между прямыми и плоскостями косинус угла прямая SC плоскость ABCD четырёхугольная пирамида квадрат ABCD боковое ребро SA угол фи прямая SC и плоскость геометрия нахождение косинуса Новый

Чтобы найти косинус угла между прямой SC и плоскостью ABCD, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

1. Определим координаты точек.
   • Пусть A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0) - это координаты вершин квадрата ABCD в плоскости XY.
   • Точка S будет находиться непосредственно над центром квадрата ABCD, и ее координаты будут S(a/2, a/2, h), где h - высота от точки S до плоскости ABCD.
2. Найдем вектор SC.
   • Вектор SC можно записать как SC = C - S = (a, a, 0) - (a/2, a/2, h) = (a/2, a/2, -h).
3. Найдем нормальный вектор плоскости ABCD.
   • Плоскость ABCD является горизонтальной, и ее нормальный вектор будет направлен вдоль оси Z, т.е. N = (0, 0, 1).
4. Найдем угол между вектором SC и нормальным вектором плоскости ABCD.
   • Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле: cos(θ) = (A • B) / (|A| |B|), где A и B - векторы, а "•" - скалярное произведение.
   • Скалярное произведение SC и N: SC • N = (a/2, a/2, -h) • (0, 0, 1) = -h.
   • Далее найдем длины векторов: |SC| = sqrt((a/2)² + (a/2)² + (-h)²) = sqrt(a²/4 + a²/4 + h²) = sqrt(a²/2 + h²).
   • |N| = 1, так как это единичный вектор.
5. Теперь подставим все в формулу для косинуса угла.
   • cos(θ) = (-h) / sqrt(a²/2 + h²).

Таким образом, мы нашли косинус угла между прямой SC и плоскостью ABCD. Ответ: cos(θ) = -h / sqrt(a²/2 + h²).