Как найти косинус угла между векторами a = 4m – p и b = m + 2p, если известно, что m ⊥ p и m = |p| = 1? Напишите, пожалуйста, решение этого задания.

Геометрия 10 класс Векторы и углы между ними косинус угла векторы a и b m и p геометрия решение задачи перпендикулярные векторы Новый

Чтобы найти косинус угла между векторами a и b, нам нужно использовать формулу:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)

где θ – угол между векторами, a · b – скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| – длины векторов a и b соответственно.

Теперь давайте начнем с вычисления векторов a и b:

• a = 4m - p
• b = m + 2p

Теперь найдем скалярное произведение a и b:

a · b = (4m - p) · (m + 2p)

Раскроем скобки:

• a · b = 4m · m + 8m · p - p · m - 2p · p

Поскольку m ⊥ p, то m · p = 0. Также, учитывая, что |m| = 1 и |p| = 1, мы имеем:

• m · m = |m|^2 = 1
• p · p = |p|^2 = 1

Теперь подставим эти значения в выражение для скалярного произведения:

• a · b = 4 * 1 + 8 * 0 - 0 - 2 * 1
• a · b = 4 - 2 = 2

Теперь нужно найти длины векторов a и b:

|a| = |4m - p|

Для нахождения длины вектора a используем формулу:

|a| = √((4m - p) · (4m - p))

Раскроем скобки:

• |a| = √((4m) · (4m) - 2(4m) · p + p · p)

Подставляя значения:

• |a| = √(16 - 0 + 1) = √17

Теперь найдем длину вектора b:

|b| = |m + 2p|

Аналогично:

|b| = √((m + 2p) · (m + 2p))

Раскроем скобки:

• |b| = √(m · m + 4p · p + 2(m · 2p))

Подставляя значения:

• |b| = √(1 + 4 + 0) = √5

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами a и b:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)

Подставляем найденные значения:

• cos(θ) = 2 / (√17 * √5) = 2 / √85

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен 2 / √85.