Чтобы вычислить косинус угла между прямой A1D и плоскостью грани A1B1C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1CD1, следуем следующим шагам:

1. Определим координаты точек параллелепипеда:
   • A (0, 0, 0)
   • B (8, 0, 0)
   • C (8, 15, 0)
   • D (0, 15, 0)
   • A1 (0, 0, 15)
   • B1 (8, 0, 15)
   • C1 (8, 15, 15)
   • D1 (0, 15, 15)
2. Найдем вектор, направленный вдоль прямой A1D:
   • Координаты точки A1: (0, 0, 15)
   • Координаты точки D: (0, 15, 0)
   • Вектор A1D = D - A1 = (0 - 0, 15 - 0, 0 - 15) = (0, 15, -15)
3. Найдем нормальный вектор плоскости A1B1C1D1:
   • Плоскость A1B1C1D1 образована векторами A1B1 и A1D1.
   • Вектор A1B1 = B1 - A1 = (8 - 0, 0 - 0, 15 - 15) = (8, 0, 0)
   • Вектор A1D1 = D1 - A1 = (0 - 0, 15 - 0, 15 - 15) = (0, 15, 0)
   • Нормальный вектор N к плоскости можно найти по формуле векторного произведения: N = A1B1 x A1D1.
   • Вычислим векторное произведение:
   • N = |i j k|
   • |8 0 0|
   • |0 15 0|
   • Вычисляем детерминант:
   • N = (0*0 - 0*15)i - (8*0 - 0*0)j + (8*15 - 0*0)k = (0, 0, 120)
   • Таким образом, нормальный вектор N = (0, 0, 120).
4. Теперь найдем косинус угла между вектором A1D и нормальным вектором плоскости:
   • Косинус угла θ можно найти по формуле: cos(θ) = (A1D • N) / (|A1D| * |N|).
   • Сначала найдем скалярное произведение A1D и N:
   • A1D • N = (0, 15, -15) • (0, 0, 120) = 0*0 + 15*0 + (-15)*120 = -1800.
   • Теперь найдем длины векторов:
   • |A1D| = √(0^2 + 15^2 + (-15)^2) = √(0 + 225 + 225) = √450 = 15√2.
   • |N| = √(0^2 + 0^2 + 120^2) = √(0 + 0 + 14400) = 120.
   • Теперь подставим значения в формулу:
   • cos(θ) = -1800 / (15√2 * 120) = -1800 / (1800√2) = -1/√2.

Таким образом, косинус угла между прямой A1D и плоскостью грани A1B1C1D1 равен -1/√2.