В прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1, где ac=1 см, bc=3 см и bb1=2 см, каким образом можно определить тангенс угла между плоскостью abc и прямой b1c?

Геометрия 10 класс Углы между прямыми и плоскостями в пространстве тангенс угла плоскость ABC прямая b1c прямоугольный параллелепипед геометрия определение тангенса Угол между плоскостями свойства параллелепипеда Новый

Для того чтобы определить тангенс угла между плоскостью abc и прямой b1c в прямоугольном параллелепипеде, давайте сначала рассмотрим необходимые элементы и шаги решения.

Шаг 1: Определение координат вершин параллелепипеда.

Пусть у нас есть следующие координаты вершин:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 3, 0)
• D(0, 3, 0)
• A1(0, 0, 2)
• B1(1, 0, 2)
• C1(1, 3, 2)
• D1(0, 3, 2)

Шаг 2: Нахождение нормали к плоскости abc.

Для нахождения нормали к плоскости мы можем использовать векторы, которые лежат в этой плоскости. Векторы AB и AC можно определить следующим образом:

• AB = B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0)
• AC = C - A = (1, 3, 0) - (0, 0, 0) = (1, 3, 0)

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормаль к плоскости:

n = AB × AC = (1, 0, 0) × (1, 3, 0) = (0, 0, 3).

Таким образом, нормаль к плоскости abc равна (0, 0, 3).

Шаг 3: Определение направления прямой b1c.

Теперь определим вектор, который описывает прямую b1c:

• b1 = (1, 0, 2)
• c = (1, 3, 0)

Вектор b1c будет равен:

b1c = c - b1 = (1, 3, 0) - (1, 0, 2) = (0, 3, -2).

Шаг 4: Нахождение угла между нормалью и вектором b1c.

Теперь мы можем найти угол между нормалью n и вектором b1c, используя скалярное произведение:

cos(θ) = (n • b1c) / (|n| * |b1c|),

где |n| и |b1c| - длины векторов n и b1c.

Сначала найдем скалярное произведение:

n • b1c = (0, 0, 3) • (0, 3, -2) = 0 * 0 + 0 * 3 + 3 * (-2) = -6.

Теперь найдем длины векторов:

• |n| = √(0² + 0² + 3²) = 3
• |b1c| = √(0² + 3² + (-2)²) = √(0 + 9 + 4) = √13.

Теперь можем подставить значения в формулу:

cos(θ) = -6 / (3 * √13) = -2 / √13.

Шаг 5: Нахождение тангенса угла.

Мы знаем, что:

tan(θ) = sin(θ) / cos(θ).

Чтобы найти sin(θ), используем:

sin²(θ) + cos²(θ) = 1.

Таким образом, sin²(θ) = 1 - (-2/√13)² = 1 - 4/13 = 9/13, следовательно, sin(θ) = 3/√13.

Теперь найдем тангенс:

tan(θ) = (3/√13) / (-2/√13) = -3/2.

Ответ: Тангенс угла между плоскостью abc и прямой b1c равен -3/2.