Для того чтобы понять отношение между отрезками BP и PN, давайте рассмотрим свойства параллелограмма и определим, что нам известно о точках M и N.

Пусть ABCD - параллелограмм, где:

• Точка M - середина стороны AB;
• Точка N - середина стороны AD.

Согласно свойствам параллелограмма, стороны AB и AD равны и параллельны, а также диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах. Теперь, когда мы знаем, что M и N - середины сторон, мы можем использовать это для дальнейшего анализа.

Теперь рассмотрим отрезки BN и CM. Поскольку N и M - середины, мы можем сказать, что:

• Отрезок BN соединяет точку B с серединой AD;
• Отрезок CM соединяет точку C с серединой AB.

Теперь, когда отрезки BN и CM пересекаются в точке P, нам нужно выяснить, какое отношение существует между отрезками BP и PN. Для этого воспользуемся свойствами треугольников и теорией о средних линиях.

Согласно теореме о средних линиях в треугольниках, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен ее половине. В нашем случае, треугольники BPN и CMP являются подобными, так как у них есть общая вершина P и они имеют равные углы.

Из подобия треугольников следует, что:

• Отрезок BP будет равен половине отрезка BN;
• Отрезок PN будет равен половине отрезка CM.

Таким образом, мы можем заключить, что:

Это означает, что отрезки BP и PN равны по длине. Таким образом, точка P делит отрезок BN на две равные части.