Какое расстояние между центрами двух окружностей, если их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны, а хорды, соединяющие точки касания, равны 5 см и 21 см?

Геометрия 10 класс Окружности и касательные расстояние между центрами окружностей общие внутренние касательные хорды касания перпендикулярные касательные геометрия окружностей задачи по геометрии свойства окружностей Новый

Для решения задачи нам нужно использовать свойства окружностей и их касательных. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Обозначим окружности: Пусть у нас есть две окружности с центрами O1 и O2, радиусами R1 и R2 соответственно. Обозначим точки касания их касательных как A и B.
2. Изучим условия задачи: Из условия задачи нам известно, что общие внутренние касательные окружностей взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между касательными равен 90 градусов.
3. Используем свойства касательных: Если у нас есть две окружности с радиусами R1 и R2, расстояние между их центрами O1 и O2 обозначим как d. Для внутренней касательной, которая перпендикулярна, справедливо следующее соотношение:
   • d^2 = (R1 + R2)^2 + (h^2), где h - длина хорды, соединяющей точки касания.
4. Определим длину хорды: У нас есть две хорды, соединяющие точки касания: одна длиной 5 см (обозначим ее h1) и другая длиной 21 см (обозначим ее h2). В данной ситуации мы можем использовать формулу для каждой из них:
   • h1 = 5 см
   • h2 = 21 см
5. Применим теорему Пифагора: Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения расстояния d между центрами окружностей:
   • d^2 = (R1 + R2)^2 + (h1^2 + h2^2)
6. Подставим значения: Теперь подставим значения для h1 и h2:
   • d^2 = (R1 + R2)^2 + (5^2 + 21^2)
   • d^2 = (R1 + R2)^2 + (25 + 441)
   • d^2 = (R1 + R2)^2 + 466
7. Решение: Поскольку у нас нет конкретных значений для R1 и R2, мы не можем найти точное значение d. Однако, если мы знаем радиусы окружностей, мы можем подставить их и найти d. Если R1 и R2 равны, например, 10 см, то:
   • d^2 = (10 + 10)^2 + 466 = 400 + 466 = 866
   • d = √866 ≈ 29.4 см.

Таким образом, для нахождения точного расстояния между центрами окружностей необходимо знать радиусы окружностей. Если радиусы известны, вы можете подставить их в формулу и найти расстояние d.