Какое расстояние от точки O до прямых DB, BC и DC, если прямая AO, проходящая через вершину A квадрата ABCD, перпендикулярна его плоскости, а длина OA равна 16 см, и сторона AB равна 8 см?

Геометрия 10 класс Расстояние от точки до прямой в пространстве расстояние от точки O прямые DB BC DC прямая AO вершина A квадрата перпендикулярная плоскости длина OA 16 см сторона AB 8 см Новый

Для того чтобы найти расстояние от точки O до прямых DB, BC и DC, давайте сначала разберемся с расположением всех элементов задачи.

У нас есть квадрат ABCD, где:

• Сторона AB равна 8 см.
• Точка O находится над вершиной A и прямая AO перпендикулярна плоскости квадрата ABCD.
• Длина OA равна 16 см.

Теперь давайте определим координаты точек квадрата ABCD в трехмерном пространстве:

• A(0, 0, 0)
• B(8, 0, 0)
• C(8, 8, 0)
• D(0, 8, 0)
• O(0, 0, 16)

Теперь мы можем найти расстояния от точки O до каждой из прямых.

1. Расстояние от точки O до прямой DB:

Прямая DB проходит через точки D и B. Для нахождения уравнения прямой DB, найдем вектор DB:

• DB = B - D = (8, 0, 0) - (0, 8, 0) = (8, -8, 0).

Теперь мы можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой:

Расстояние = |(OB x DB)| / |DB|, где x - векторное произведение, а | | - модуль вектора.

• OB = B - O = (8, 0, 0) - (0, 0, 16) = (8, 0, -16).

Вычислим векторное произведение OB и DB:

• OB x DB = |i j k|
• |8 0 -16|
• |8 -8 0|

Решая это, получим:

• i(0 - 128) - j(0 - 128) + k(-64 + 0) = (-128, 128, -64).

Теперь находим модуль этого вектора:

• |(-128, 128, -64)| = √((-128)² + 128² + (-64)²) = √(16384 + 16384 + 4096) = √(36864) = 192.

Теперь найдем модуль DB:

• |DB| = √((8)² + (-8)² + 0²) = √(64 + 64) = √128 = 8√2.

Теперь подставляем в формулу расстояния:

• Расстояние от O до DB = 192 / (8√2) = 24 / √2 = 12√2 см.

2. Расстояние от точки O до прямой BC:

Прямая BC проходит через точки B и C:

• BC = C - B = (8, 8, 0) - (8, 0, 0) = (0, 8, 0).

Теперь находим OB:

• OB = (8, 0, -16).

Вычисляем векторное произведение OB и BC:

• OB x BC = |i j k|
• |8 0 -16|
• |0 8 0|

Решая, получим:

• i(0 - (-128)) - j(0 - 0) + k(64 - 0) = (128, 0, 64).

Находим модуль:

• |(128, 0, 64)| = √(128² + 0² + 64²) = √(16384 + 0 + 4096) = √20480 = 16√5.

Модуль BC:

• |BC| = 8.

Расстояние от O до BC:

• Расстояние = 16√5 / 8 = 2√5 см.

3. Расстояние от точки O до прямой DC:

Прямая DC проходит через точки D и C:

• DC = C - D = (8, 8, 0) - (0, 8, 0) = (8, 0, 0).

Находим векторное произведение OB и DC:

• OB x DC = |i j k|
• |8 0 -16|
• |8 0 0|

Решая, получим:

• i(0 - 0) - j(0 - (-128)) + k(0 - 0) = (0, 128, 0).

Находим модуль:

• |(0, 128, 0)| = 128.

Модуль DC:

• |DC| = 8.

Расстояние от O до DC:

• Расстояние = 128 / 8 = 16 см.

Таким образом, мы нашли расстояния от точки O до каждой из прямых:

• Расстояние от O до DB = 12√2 см.
• Расстояние от O до BC = 2√5 см.
• Расстояние от O до DC = 16 см.