Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанной и вневписанной окружностей треугольника.

Обозначим:

• a = длина стороны BC = 10;
• b = длина стороны AC;
• c = длина стороны AB.

Согласно условию, расстояние между точками касания со вписанной и соответствующей вневписанной окружностью на стороне BC равно 2, а на стороне AC равно 3. Используем обозначения:

• d_a = расстояние между точками касания на стороне BC = 2;
• d_b = расстояние между точками касания на стороне AC = 3.

Теперь применим формулы для расстояний между точками касания:

• d_a = r + r_a,
• d_b = r + r_b.

где r - радиус вписанной окружности, r_a - радиус вневписанной окружности, соответствующей стороне BC, r_b - радиус вневписанной окружности, соответствующей стороне AC.

Известно, что для сторон треугольника выполняется следующее равенство:

• r_a = (S / s_a),
• r_b = (S / s_b),

где S - площадь треугольника, s_a и s_b - полупериметры треугольника, соответствующие сторонам a и b.

Теперь, используя формулы, можно выразить радиусы через длины сторон и площадь:

• r + (S / s_a) = 2,
• r + (S / s_b) = 3.

Мы знаем, что полупериметр p = (a + b + c) / 2. В нашем случае:

• p = (10 + b + c) / 2.

Теперь подставим известные значения и решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим r:

• r = 2 - (S / s_a),

и подставим это значение во второе уравнение:

• 2 - (S / s_a) + (S / s_b) = 3.

Отсюда получаем:

• (S / s_b) - (S / s_a) = 1.

Теперь, используя известные значения, мы можем найти b. Однако для этого нам нужно знать c или S. Подходящее значение для c можно найти, используя соотношение между сторонами треугольника и известные расстояния.

Далее, подставляя различные значения для b и c, мы можем получить несколько решений. Например, если b = 6, то c можно найти, подставив в формулу для площади треугольника и проверив равенство.

Таким образом, возможные значения длины стороны AC (b) могут быть разными, но, как правило, они будут находиться в пределах, определенных условиями задачи. В данном случае, можно получить несколько решений, например, b = 6 или b = 7, в зависимости от выбора c.

Таким образом, длина стороны AC может быть равна 6 или 7, в зависимости от того, какие значения мы выберем для стороны AB (c) и площади (S).