Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам нужно сначала определить его размеры. Давайте обозначим длины ребер параллелепипеда как a, b и c. По условию задачи, эти ребра пропорциональны числам 1, 2 и 4, соответственно. Мы можем записать:

• a = k (где k - некоторый коэффициент пропорциональности)
• b = 2k
• c = 4k

Теперь нам нужно использовать информацию о площади поверхности. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда рассчитывается по формуле:

Площадь поверхности = 2(ab + ac + bc)

Подставим наши выражения для a, b и c:

Площадь поверхности = 2(k * 2k + k * 4k + 2k * 4k)

Упрощаем:

• ab = k * 2k = 2k^2
• ac = k * 4k = 4k^2
• bc = 2k * 4k = 8k^2

Теперь подставим эти значения в формулу площади поверхности:

Площадь поверхности = 2(2k^2 + 4k^2 + 8k^2) = 2(14k^2) = 28k^2

Согласно условию, площадь поверхности составляет 112 см². Таким образом, мы можем составить уравнение:

28k² = 112

Теперь решим это уравнение:

k² = 112 / 28

k² = 4

k = 2 (так как длина не может быть отрицательной)

Теперь мы можем найти длины ребер:

• a = k = 2 см
• b = 2k = 4 см
• c = 4k = 8 см

Теперь, чтобы найти объем параллелепипеда, используем формулу:

Объем = a * b * c

Подставим найденные значения:

Объем = 2 * 4 * 8

Объем = 64 см³

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда составляет 64 см³.