Какова площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, если её диагональ составляет 8 и образует угол 30° с плоскостью основания?

Геометрия 10 класс Площадь боковой поверхности призмы площадь боковой поверхности правильная четырехугольная призма диагональ 8 угол 30° геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, нам нужно сначала выяснить некоторые параметры этой призмы, используя данные о диагонали и угле. Рассмотрим шаги решения:

1. Определим параметры основания призмы.
   • Правильная четырёхугольная призма имеет квадратное основание. Обозначим сторону квадрата как "a".
   • Диагональ квадрата можно найти по формуле: D = a√2. У нас есть диагональ D = 8.
   • Таким образом, уравнение будет выглядеть так: 8 = a√2. Решим его для a:
   • a = 8/√2 = 8√2/2 = 4√2.
2. Найдем высоту призмы.
   • Диагональ призмы образует угол 30° с плоскостью основания. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты h призмы.
   • Согласно определению косинуса, мы знаем, что cos(30°) = h / D, где D = 8.
   • Следовательно, h = D * cos(30°) = 8 * (√3/2) = 4√3.
3. Теперь можем найти площадь боковой поверхности призмы.
   • Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле: P = периметр основания * высота.
   • Периметр квадратного основания равен P = 4a = 4 * 4√2 = 16√2.
   • Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности: P = 16√2 * 4√3.
   • P = 64√6.

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы составляет 64√6 квадратных единиц.