2024-07-19 06:41:19
Составить каноническое уравнение гиперболы, если длина действительной оси равна 1 и точка(1;3) лежит на гиперболе.
Геометрия 10 класс Каноническое уравнение гиперболы Каноническое уравнение гиперболы действительная ось точка на гиперболе.
2024-07-19 06:41:28
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, где $a$ и $b$ — длины действительной и мнимой полуосей соответственно.
По условию длина действительной оси равна 1, то есть $a=1$. Точка $(1;3)$ лежит на гиперболе, значит её координаты удовлетворяют уравнению гиперболы: $\frac{1^2}{1^2}-\frac{3^2}{b^2}=1$. Отсюда получаем:
$\frac{1}{1}-\frac{9}{b^2}=1 \Leftrightarrow -\frac{9}{b^2} = 0 \Leftrightarrow b^2 = 9 \Leftrightarrow b=\pm3$.
Так как $b>0$, то $b=3$. Тогда каноническое уравнение гиперболы примет вид:
Ответ: $\frac{{x}^{2}}{1}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$ или $\boxed{\frac{{{x}^{2}}}{1}=\frac{{{y}^{2}}}{9}+1}$.
