Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола — это геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$,где $a$ и $b$ — действительная и мнимая полуоси гиперболы соответственно.

Это уравнение можно получить из определения гиперболы, если ввести прямоугольную систему координат, в которой фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Тогда координаты фокусов будут иметь вид $(c;0)$ и $(-c;0)$, где $c$ — расстояние от каждого из фокусов до начала координат (называемое фокусным расстоянием).

В этом случае каноническое уравнение примет вид:$(x-c)^2-(y-0)^2=\text{(x+c)}^2-\text{(y-0)}^2$.После упрощения получаем:$x^2-2cx+c^2-y^2=x^2+2cx+c^2-y^2$,откуда следует:$-2cy=4cx$,и окончательно:$\boxed{\frac{x^2}{c^2}-\frac{y^2}{c^2}=1}$.

Из уравнения видно, что $c^2=a^2-b^2$, поэтому уравнение можно переписать в виде:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Если $a=b$, то гипербола называется равносторонней. Её уравнение:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=-1$.

Уравнение асимптот гиперболы:$y=\pm\frac{b}{a}x$.

Рассмотрим примеры задач по теме «Каноническое уравнение гиперболы».

Задача 1. Написать каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси OX в точках (-7;0) и (7;0).

Решение:

По условию задачи, $c=7$. Подставляя в каноническое уравнение, получаем:$\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{b^2}=1$.Так как $c^2=a^2+b^2$ (теорема Пифагора), то $b=\sqrt{63}$, и уравнение принимает вид:$\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{63}=1$.Ответ: $\frac{x^2}{49}-\frac{y^2}{63}=1$.

Задача 2. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$.

Решение:

Приведём уравнение к каноническому виду:$\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$.Отсюда $a=5$, $b=4$. Следовательно, $c=\sqrt{25-16}=3$. Фокусы имеют координаты $F_1(3;0)$ и $F_2(-3;0)$. Эксцентриситет:$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$.Ответ: a=5, b=4, c=3, F_1(3;0), F_2(-3;0), e=0,6.

Вопросы для самоконтроля:

• Что такое гипербола?
• Как выглядит каноническое уравнение гиперболы?
• Какие существуют виды гипербол?
• Что такое асимптоты гиперболы и как найти их уравнение?

Теперь рассмотрим связь между гиперболой и биологией.

Как известно, гипербола — это кривая второго порядка. В биологии кривые второго порядка используются для описания различных процессов и явлений. Например, они могут использоваться для моделирования роста популяции, динамики численности видов, распространения болезней и т. д.

Одним из примеров использования гиперболы в биологии является модель роста популяции. Эта модель основана на предположении, что скорость роста популяции пропорциональна её текущей численности. Уравнение этой модели имеет вид:$P(t)=P_0e^{rt}$,где P(t) — численность популяции в момент времени t, P_0 — начальная численность популяции, r — коэффициент роста. Это уравнение представляет собой экспоненциальную функцию, которая при определённых условиях может быть аппроксимирована гиперболой.

Таким образом, гипербола находит применение в различных областях науки и техники, включая биологию. Она используется для решения задач, связанных с описанием кривых второго порядка, а также для моделирования различных процессов и явлений, таких как рост популяции или динамика численности видов.