Квадрат ABCD и прямоугольный треугольник SBC, где угол B равен 90 градусам, не находятся в одной плоскости. Какова градусная мера угла между плоскостями треугольника и квадрата, если длины отрезков SD, AB и SB равны 2AB = 2SB = 8?

Геометрия 10 класс Углы между плоскостями Угол между плоскостями квадрат ABCD прямоугольный треугольник геометрия 10 класс длины отрезков градусная мера угла угол B равен 90 градусов решение задачи по геометрии Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть квадрат ABCD и прямоугольный треугольник SBC, где угол B равен 90 градусам. Также нам даны длины отрезков:

• 2AB = 8, отсюда AB = 4;
• 2SB = 8, отсюда SB = 4;
• SD = 2AB = 8.

Теперь мы можем определить длины сторон квадрата ABCD:

• Стороны квадрата равны AB = 4.

Теперь определим координаты точек, чтобы визуализировать ситуацию:

• Пусть A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(4, 4, 0), D(0, 4, 0);
• Точка S будет находиться над плоскостью квадрата ABCD. Поскольку SB = 4, то S(4, 0, h), где h - высота, которая равна 4 (так как SD = 8 и D находится на высоте 0).

Теперь у нас есть следующие координаты:

• A(0, 0, 0);
• B(4, 0, 0);
• C(4, 4, 0);
• D(0, 4, 0);
• S(4, 0, 4).

Теперь мы можем найти нормальные векторы к плоскостям квадрат ABCD и треугольника SBC:

• Плоскость ABCD: Нормальный вектор N1 = (0, 0, 1), так как плоскость лежит в XY-координатах.
• Плоскость SBC: Для нахождения нормального вектора используем векторы BS и BC:

Вектор BS = S - B = (4, 0, 4) - (4, 0, 0) = (0, 0, 4).

Вектор BC = C - B = (4, 4, 0) - (4, 0, 0) = (0, 4, 0).

Теперь найдем векторное произведение BS и BC, чтобы получить нормальный вектор N2 к плоскости SBC:

• N2 = BS x BC = |i j k|
• |0 0 4|
• |0 4 0|

Вычисляя определитель, получаем:

• N2 = (0*0 - 4*4)i - (0*0 - 0*4)j + (0*4 - 0*0)k = -16i + 0j + 0k = (-16, 0, 0).

Теперь у нас есть два нормальных вектора:

• N1 = (0, 0, 1);
• N2 = (-16, 0, 0).

Чтобы найти угол между плоскостями, используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|),

где "•" - скалярное произведение векторов, а |N| - длина вектора.

Скалярное произведение N1 и N2:

• N1 • N2 = (0 * -16) + (0 * 0) + (1 * 0) = 0.

Длину векторов:

• |N1| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1;
• |N2| = sqrt((-16)^2 + 0^2 + 0^2) = 16.

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 0 / (1 * 16) = 0.

Это означает, что угол θ между плоскостями равен 90 градусам.

Ответ: угол между плоскостями треугольника и квадрата равен 90 градусам.