На плоскости задан правильный 100-угольник. Сколько еще правильных многоугольников можно указать, выбирая вершины из числа вершин этого многоугольника?

Геометрия 10 класс Комбинаторика многоугольников правильный многоугольник вершины многоугольника геометрия комбинаторика 100-угольник количество многоугольников Новый

Чтобы определить, сколько правильных многоугольников можно создать, выбирая вершины из правильного 100-угольника, давайте рассмотрим несколько шагов.

1. Определение количества вершин: В правильном 100-угольнике есть 100 вершин.
2. Выбор вершин для многоугольников: Мы можем выбрать любое количество вершин от 3 до 100, чтобы получить правильный многоугольник. Многоугольник с менее чем 3 вершинами (то есть 1 или 2 вершины) не является многоугольником.
3. Количество способов выбора вершин: Для каждого количества вершин (n), где n варьируется от 3 до 100, мы можем выбрать их из 100 вершин. Количество способов выбрать n вершин из 100 можно найти с помощью биномиального коэффициента, который обозначается как C(100, n).

Теперь нам нужно посчитать количество правильных многоугольников для каждого n от 3 до 100:

• Для n = 3: C(100, 3)
• Для n = 4: C(100, 4)
• ...
• Для n = 100: C(100, 100)

Теперь, чтобы найти общее количество правильных многоугольников, мы суммируем все возможные биномиальные коэффициенты:

Общее количество правильных многоугольников:

Сумма от n = 3 до n = 100: C(100, 3) + C(100, 4) + ... + C(100, 100).

Однако, мы также можем воспользоваться известной формулой для суммы всех биномиальных коэффициентов, которая гласит, что сумма всех C(100, k) от k = 0 до 100 равна 2^100. Но нам нужно вычесть те случаи, которые не подходят (k = 0, 1, 2):

• C(100, 0) = 1
• C(100, 1) = 100
• C(100, 2) = 4950

Таким образом, общее количество правильных многоугольников будет равно:

2^100 - 1 - 100 - 4950.

Теперь мы можем вычислить это значение. 2^100 - 1 - 100 - 4950 даст нам общее количество правильных многоугольников, которые можно получить, выбирая вершины из 100-угольника.

Таким образом, ответ на вопрос: общее количество правильных многоугольников, которые можно указать, равно 2^100 - 1 - 100 - 4950.