Помогите с геометрией 10 класс

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AB=5корней из 2, AA1=6. Необходимо найти:

1. тангенс угла между прямой B1D и плоскостью ABC
2. площадь полной поверхности призмы

Геометрия 10 класс Правильные призмы и их свойства геометрия 10 класс правильная четырехугольная призма тангенс угла плоскость ABC площадь полной поверхности задачи по геометрии Новый

Давайте решим задачу поэтапно.

1. Найдем тангенс угла между прямой B1D и плоскостью ABC.

Сначала определим координаты точек призмы. Мы можем разместить призму в трехмерном пространстве следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(5√2, 0, 0)
• C(5√2, 5√2, 0)
• D(0, 5√2, 0)
• A1(0, 0, 6)
• B1(5√2, 0, 6)
• C1(5√2, 5√2, 6)
• D1(0, 5√2, 6)

Теперь найдем векторы B1D и нормальный вектор к плоскости ABC.

Вектор B1D можно найти, вычитая координаты точки D из координат точки B1:

• B1D = D - B1 = (0, 5√2, 0) - (5√2, 0, 6) = (-5√2, 5√2, -6)

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости ABC. Плоскость ABC является плоскостью, заданной векторами AB и AC:

• AB = B - A = (5√2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (5√2, 0, 0)
• AC = C - A = (5√2, 5√2, 0) - (0, 0, 0) = (5√2, 5√2, 0)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC, чтобы получить нормальный вектор к плоскости ABC:

• N = AB x AC = |i j k|
• |5√2 0 0|
• |5√2 5√2 0|

Вычисляем это определение:

• N = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (5√2 * 5√2 - 0)k = 50k

Таким образом, нормальный вектор N = (0, 0, 50).

Теперь мы можем найти угол между вектором B1D и нормальным вектором N. Для этого используем формулу:

• cos(θ) = (B1D · N) / (|B1D| * |N|)

Где:

• B1D · N = (-5√2, 5√2, -6) · (0, 0, 50) = -6 * 50 = -300
• |B1D| = √((-5√2)^2 + (5√2)^2 + (-6)^2) = √(50 + 50 + 36) = √136
• |N| = √(0^2 + 0^2 + 50^2) = 50

Теперь подставим значения в формулу:

• cos(θ) = -300 / (√136 * 50)

Теперь найдем тангенс угла между прямой B1D и плоскостью ABC:

• tan(φ) = |B1D · N| / |N| * |B1D| = 300 / (50 * √136)

2. Найдем площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы складывается из площади двух оснований и площади боковых граней. Площадь одного основания (квадрат ABCD) равна:

• Площадь основания = (AB)^2 = (5√2)^2 = 50.

Площадь двух оснований:

• 2 * 50 = 100.

Теперь найдем площадь боковых граней. Боковые грани - это 4 прямоугольника с высотой AA1 = 6 и шириной AB, BC, CD, DA. Площадь одной боковой грани равна:

• Площадь боковой грани = AB * AA1 = (5√2) * 6 = 30√2.

Площадь всех 4 боковых граней:

• 4 * (5√2 * 6) = 120√2.

Теперь суммируем площади оснований и боковых граней:

• Площадь полной поверхности = 100 + 120√2.

Таким образом, мы нашли:

• Тангенс угла между прямой B1D и плоскостью ABC: 300 / (50 * √136).
• Площадь полной поверхности призмы: 100 + 120√2.