Чтобы найти высоту усечённого конуса, нам нужно использовать несколько формул и соотношений. Начнём с того, что радиусы оснований усечённого конуса соотносятся как 2:5. Обозначим радиус нижнего основания как r1 и радиус верхнего основания как r2:

• r1 = 2k
• r2 = 5k

где k - некоторый коэффициент. Теперь нам нужно использовать формулу для площади полной поверхности усечённого конуса:

Площадь полной поверхности S усечённого конуса:

S = π(r1^2 + r2^2) + π(r1 + r2) * l

где l - образующая усечённого конуса. Площадь полной поверхности нам известна и равна 213π:

213π = π((2k)^2 + (5k)^2) + π(2k + 5k) * l

Упростим уравнение, разделив обе стороны на π:

213 = (4k^2 + 25k^2) + (7k * l)

Это упростится до:

213 = 29k^2 + 7kl

Теперь нам нужно выразить l через высоту h и угол 60°. Образующая l связана с высотой h и радиусами оснований через тригонометрию:

l = h / cos(60°)

Поскольку cos(60°) = 0.5, мы можем записать:

l = 2h

Теперь подставим l в уравнение:

213 = 29k^2 + 7k(2h)

Это упростится до:

213 = 29k^2 + 14kh

Теперь у нас есть два неизвестных: k и h. Чтобы найти h, нам нужно выразить k через h. Для этого мы можем использовать соотношение между радиусами и высотой. Мы знаем, что:

h = l * sin(60°)

И поскольку sin(60°) = √3/2, мы имеем:

h = (2h) * (√3/2)

Это уравнение не даёт нам прямого решения, поэтому давайте вернёмся к нашему уравнению для площади:

213 = 29k^2 + 14kh

Теперь мы можем выразить h через k:

h = (213 - 29k^2) / (14k)

Теперь мы можем подставить это значение h обратно в уравнение для l:

l = 2 * (213 - 29k^2) / (14k)

Теперь, подставив это значение l в уравнение для площади, мы можем решить его относительно k и затем найти h.

Однако, для упрощения, давайте подставим конкретные значения. Если k = 1, то:

• r1 = 2, r2 = 5

Подставим это в уравнение для площади:

213 = 29(1)^2 + 14(1)h

213 = 29 + 14h

14h = 213 - 29

14h = 184

h = 184 / 14

h = 13.14

Таким образом, высота усечённого конуса составляет приблизительно 13.14 единиц.