Сторона основания правильной треугольной пирамиды составляет 6 см, а двугранный угол при стороне основания равен 30 градусов. Каков объем этой пирамиды?

Геометрия 10 класс Объем правильной треугольной пирамиды объем правильной треугольной пирамиды геометрия Двугранный угол сторона основания формула объёма пирамиды задачи по геометрии Новый

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Найдем площадь основания.

Основание нашей пирамиды - это правильный треугольник со стороной 6 см. Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны треугольника.

Подставим значение:

Площадь = (6^2 * √3) / 4 = (36 * √3) / 4 = 9√3 см².

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Мы знаем, что двугранный угол при основании равен 30 градусов. Это означает, что угол между боковой гранью и основанием составляет 30 градусов.

Высота пирамиды h может быть найдена с помощью тригонометрии. В данном случае мы можем использовать тангенс угла:

tan(угол) = (высота) / (половина стороны основания).

Половина стороны основания равна 6 см / 2 = 3 см.

Таким образом, у нас есть:

tan(30°) = h / 3.

Зная, что tan(30°) = 1/√3, можем записать:

1/√3 = h / 3.

Отсюда h = 3/√3 = √3 см.

Шаг 3: Найдем объем пирамиды.

Объем V правильной треугольной пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * площадь основания * высота.

Подставляем найденные значения:

V = (1/3) * (9√3) * (√3) = (1/3) * 27 = 9 см³.

Итак, объем правильной треугольной пирамиды составляет 9 см³.