Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, нам сначала нужно понять её структуру и использовать данные, которые у нас есть. В правильной четырехугольной призме основание является квадратом, и все боковые грани — прямоугольники. Давайте пошагово разберёмся, как решить задачу.

1. Определим параметры основания:
   • Пусть сторона основания квадрата равна a.
   • Диагональ призмы, которая равна 7 м, проходит через две противоположные вершины верхнего и нижнего основания. Она образует прямоугольный треугольник с диагональю основания и высотой призмы. Диагональ основания квадрата будет равна a√2.
2. Используем диагональ боковой грани:
   • Диагональ боковой грани равна 5 м. Боковая грань является прямоугольником со сторонами a и h, где h — высота призмы.
   • По теореме Пифагора для диагонали боковой грани имеем: √(a² + h²) = 5. Отсюда a² + h² = 25.
3. Используем диагональ призмы:
   • Диагональ призмы образует прямоугольный треугольник с диагональю основания и высотой призмы: √((a√2)² + h²) = 7.
   • Это уравнение можно упростить до √(2a² + h²) = 7, что даёт 2a² + h² = 49.
4. Решаем систему уравнений:
   • Теперь у нас есть две системы уравнений:
     • a² + h² = 25
     • 2a² + h² = 49
   • Вычтем первое уравнение из второго: (2a² + h²) - (a² + h²) = 49 - 25, что даёт a² = 24.
   • Следовательно, a = √24 = 2√6.
   • Подставим значение a² в первое уравнение: 24 + h² = 25, отсюда h² = 1, значит h = 1.
5. Вычисляем площадь боковой поверхности:
   • Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: P = 4a, следовательно, P = 4 * 2√6 = 8√6.
   • Площадь боковой поверхности: S = P * h = 8√6 * 1 = 8√6 м².

Итак, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы составляет 8√6 м².