Для решения задачи о нахождении площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды, давайте разберем шаги, которые нам нужно выполнить.

• Обозначим вершину пирамиды как A, а основания треугольника как B, C и D.
• Поскольку это правильная треугольная пирамида, то основание ABC является равносторонним треугольником.
• Плоский угол при вершине A равен 45 градусам, а боковое ребро AD равно 16.

Чтобы найти высоту пирамиды (h), воспользуемся треугольником AOD, где O - центр основания треугольника ABC. В этом треугольнике угол AOD равен 45 градусам, а AD - боковое ребро.

В треугольнике AOD, используя свойства треугольников, мы можем записать:

• sin(45°) = h / AD, где AD = 16.
• sin(45°) = √2 / 2.

Подставим известные значения:

• √2 / 2 = h / 16.
• h = 16 * (√2 / 2) = 8√2.

Теперь найдем сторону основания треугольника ABC (s). В равностороннем треугольнике высота h делится пополам, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны:

• h² + (s/2)² = AD².
• (8√2)² + (s/2)² = 16².
• 128 + (s/2)² = 256.
• (s/2)² = 256 - 128 = 128.
• s/2 = √128 = 8√2.
• s = 16√2.

Теперь можем найти площадь основания треугольника ABC:

• Площадь треугольника = (s² * √3) / 4.
• Площадь = ( (16√2)² * √3 ) / 4 = (512 * √3) / 4 = 128√3.

Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником с основанием s и высотой, равной h. Площадь одной боковой грани:

• Площадь = (s * h) / 2 = (16√2 * 8√2) / 2 = (128 * 2) / 2 = 128.

Так как у нас 3 боковые грани, общая площадь боковых граней:

• Площадь боковых граней = 3 * 128 = 384.

Теперь сложим площадь основания и площадь боковых граней, чтобы получить полную поверхность:

• Полная площадь поверхности = Площадь основания + Площадь боковых граней = 128√3 + 384.

Таким образом, полная площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна 128√3 + 384.