Для решения задачи найдем расстояние от точки B до прямой NP, используя геометрические свойства правильной треугольной пирамиды и координатный метод.

• Пусть точка A будет в координатах (0, 0, 0).
• Точка B будет в координатах (4, 0, 0).
• Точка C будет в координатах (2, 2√3, 0) - так как основание является равносторонним треугольником с длиной стороны 4.
• Точка S, находящаяся над центром основания, будет в координатах (2, (2√3)/3, h),где h - высота пирамиды.

Для нахождения высоты h используем теорему Пифагора. Высота h равна:

h = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2.

Таким образом, координаты точки S будут (2, (2√3)/3, 2).

• Точка N - середина отрезка AC. Поэтому ее координаты: N = ((0 + 2)/2, (0 + 2√3)/2, 0) = (1, √3, 0).
• Точка O - центр основания ABC. Он находится в середине отрезков AB и AC. Его координаты: O = ((0 + 4 + 2)/3, (0 + 0 + 2√3)/3, 0) = (2, (2√3)/3, 0).

Точка P делит отрезок SO в соотношении 3:1. Мы можем использовать формулу для нахождения точки, делящей отрезок в заданном соотношении:

• P = (3 * O + 1 * S) / (3 + 1) = (3 * (2, (2√3)/3, 0) + 1 * (2, (2√3)/3, 2)) / 4 = (2, (2√3)/3, 3/2).

Теперь найдем уравнение прямой NP. Вектор NP можно найти как разность координат P и N:

• NP = P - N = (2 - 1, (2√3)/3 - √3, 3/2 - 0) = (1, (2√3 - 3√3)/3, 3/2) = (1, -√3/3, 3/2).

Уравнение прямой NP можно записать в параметрической форме:

• x = 1 + t,
• y = -√3/3 * t + √3,
• z = (3/2) * t.

Теперь найдем расстояние от точки B (4, 0, 0) до прямой NP. Для этого используем формулу расстояния от точки до прямой в пространстве:

Расстояние = |(AB x AP)| / |AB|, где AB - вектор от точки A до точки B, AP - вектор от точки A до точки P.

Сначала найдем векторы:

• AB = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (4, 0, 0),
• AP = (2 - 0, (2√3)/3 - 0, 3/2 - 0) = (2, (2√3)/3, 3/2).

Теперь найдем векторное произведение AB и AP:

AB x AP = |i j k|

|4 0 0|

|2 (2√3)/3 3/2|

Рассчитываем определитель:

AB x AP = (0 - 0)i - (0 - 6)j + (4*(2√3)/3 - 0)k = (0, -6, (8√3)/3).

Теперь найдем длину этого вектора:

|AB x AP| = √(0² + (-6)² + ((8√3)/3)²) = √(36 + 64/3) = √(108/3 + 64/3) = √(172/3).

Теперь найдем |AB|:

|AB| = √(4² + 0² + 0²) = 4.

Теперь подставим значения в формулу расстояния:

Расстояние = |(AB x AP)| / |AB| = √(172/3) / 4.

Расстояние от точки B до прямой NP равно √(172)/12.