В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, где все ребра равны 4, точка N является серединой ребра AС, точка O - центром основания пирамиды, а точка P делит отрезок SO в соотношении 3:1, считая от вершины. Какое расстояние от точки B до прямой NP?

Геометрия 10 класс Геометрия многогранников правильная треугольная пирамида расстояние от точки до прямой геометрия ребра пирамиды серединные точки центр основания деление отрезка треугольник задачи по геометрии Новый

Для решения задачи найдем расстояние от точки B до прямой NP, используя геометрические свойства правильной треугольной пирамиды и координатный метод.

Шаг 1: Определение координат точек

• Пусть точка A будет в координатах (0, 0, 0).
• Точка B будет в координатах (4, 0, 0).
• Точка C будет в координатах (2, 2√3, 0) - так как основание является равносторонним треугольником с длиной стороны 4.
• Точка S, находящаяся над центром основания, будет в координатах (2, (2√3)/3, h), где h - высота пирамиды.

Для нахождения высоты h используем теорему Пифагора. Высота h равна:

h = √(4² - (2√3)²) = √(16 - 12) = √4 = 2.

Таким образом, координаты точки S будут (2, (2√3)/3, 2).

Шаг 2: Определение точек N и O

• Точка N - середина отрезка AC. Поэтому ее координаты: N = ((0 + 2)/2, (0 + 2√3)/2, 0) = (1, √3, 0).
• Точка O - центр основания ABC. Он находится в середине отрезков AB и AC. Его координаты: O = ((0 + 4 + 2)/3, (0 + 0 + 2√3)/3, 0) = (2, (2√3)/3, 0).

Шаг 3: Определение точки P

Точка P делит отрезок SO в соотношении 3:1. Мы можем использовать формулу для нахождения точки, делящей отрезок в заданном соотношении:

• P = (3 * O + 1 * S) / (3 + 1) = (3 * (2, (2√3)/3, 0) + 1 * (2, (2√3)/3, 2)) / 4 = (2, (2√3)/3, 3/2).

Шаг 4: Уравнение прямой NP

Теперь найдем уравнение прямой NP. Вектор NP можно найти как разность координат P и N:

• NP = P - N = (2 - 1, (2√3)/3 - √3, 3/2 - 0) = (1, (2√3 - 3√3)/3, 3/2) = (1, -√3/3, 3/2).

Шаг 5: Уравнение прямой NP

Уравнение прямой NP можно записать в параметрической форме:

• x = 1 + t,
• y = -√3/3 * t + √3,
• z = (3/2) * t.

Шаг 6: Расстояние от точки B до прямой NP

Теперь найдем расстояние от точки B (4, 0, 0) до прямой NP. Для этого используем формулу расстояния от точки до прямой в пространстве:

Расстояние = |(AB x AP)| / |AB|, где AB - вектор от точки A до точки B, AP - вектор от точки A до точки P.

Сначала найдем векторы:

• AB = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (4, 0, 0),
• AP = (2 - 0, (2√3)/3 - 0, 3/2 - 0) = (2, (2√3)/3, 3/2).

Теперь найдем векторное произведение AB и AP:

AB x AP = |i j k|

|4 0 0|

|2 (2√3)/3 3/2|

Рассчитываем определитель:

AB x AP = (0 - 0)i - (0 - 6)j + (4*(2√3)/3 - 0)k = (0, -6, (8√3)/3).

Теперь найдем длину этого вектора:

|AB x AP| = √(0² + (-6)² + ((8√3)/3)²) = √(36 + 64/3) = √(108/3 + 64/3) = √(172/3).

Теперь найдем |AB|:

|AB| = √(4² + 0² + 0²) = 4.

Теперь подставим значения в формулу расстояния:

Расстояние = |(AB x AP)| / |AB| = √(172/3) / 4.

Ответ:

Расстояние от точки B до прямой NP равно √(172)/12.