В прямом параллелепипеде стороны основания 2√2 см и 5 см образуют угол 45 градусов. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Каков объем этого параллелепипеда?

Геометрия 10 класс Объем параллелепипеда параллелепипед геометрия объём диагональ угол стороны основания 2√2 см 5 см 7 см Новый

Чтобы найти объем прямого параллелепипеда, нам нужно знать площадь основания и высоту. Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Найдем площадь основания

Стороны основания параллелепипеда равны 2√2 см и 5 см, и они образуют угол 45 градусов. Площадь произвольного параллелограмма можно найти по формуле:

• Площадь = a * b * sin(угол),

где a и b - длины сторон, а угол - угол между ними. В нашем случае:

• a = 2√2 см,
• b = 5 см,
• угол = 45 градусов.

Значение sin(45 градусов) равно √2/2. Подставим значения в формулу:

• Площадь = 2√2 * 5 * (√2/2) = 5 * 2 = 10 см².

Шаг 2: Найдем высоту параллелепипеда

Теперь нам нужно найти высоту параллелепипеда. Мы знаем, что меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Меньшая диагональ D можно найти по формуле:

• D = √(a² + b² + h²),

где a и b - длины сторон основания, а h - высота. Подставим известные значения:

• D = 7 см,
• a = 2√2 см,
• b = 5 см.

Теперь подставим эти значения в уравнение:

• 7 = √((2√2)² + 5² + h²).

Посчитаем (2√2)² и 5²:

• (2√2)² = 8,
• 5² = 25.

Теперь подставим эти значения:

• 7 = √(8 + 25 + h²),
• 7 = √(33 + h²).

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

• 49 = 33 + h².

Теперь решим уравнение для h:

• h² = 49 - 33 = 16,
• h = √16 = 4 см.

Шаг 3: Найдем объем параллелепипеда

Теперь, когда мы знаем площадь основания и высоту, можем найти объем V параллелепипеда по формуле:

• V = площадь основания * высота.

Подставим значения:

• V = 10 см² * 4 см = 40 см³.

Ответ: Объем параллелепипеда равен 40 см³.